Límite de función en R^2

Vamos con una orientación.

Tienes la expresión en al argumento en la expresión logarítmica, ordenas términos en su numerador, y queda:

(5x² + 3xy² + 5y²)/(2x² + 2y²) = (5x² + 5y² + 3xy²)/(2x² + 2y²) = 

a continuación extraes factor común con los dos primeros términos en el numerdor, extraes factor común en el denominador, y queda:

= (5[x² + y²] + 3xy²)/(2[x² + y²]) = 

a continuación distribuyes el denominador, simplificas en el primer término, asocias expresiones en el segundo término, y queda:

= 5/2 + (3/2)xy²/[x² + y²] (1),

en la que tienes que el primer término es constante, y el segundo término queda indeterminado al calcular su límite con (x;y) tendiendo a (0;0);

luego, observa que la expresión: (3/2)x tiende a cero, y que la expresión y²/[x² + y²] está acotada entre cero y uno, por lo que tienes que el segundo término en la expresión señalada (1) tiende a cero (queda para ti el desarrollo correspondiente, con Teorema de Acotación),

y observa que toda la expresión en al argumento en la expresión logarítmica tiende a 5/2, y recuerda que la función logarítmica es continua en su dominio;

luego, tienes el límite en estudio:

Lím[(x;y)→(0;0)] (x - 3) * Ln[ (5x² + 3xy² + 5y²)/(2x² + 2y²) ] = 

aquí aplicas la propiedad del límite de una multiplicación de funciones cuyos límites existen, sustituyes la expresión señalada (1) en el argumento en la expresión logarítmica, y queda:

= Lím[(x;y)→(0;0)] (x - 3) * Lím[(x;y)→(0;0)] ( Ln[ 5/2 + (3/2)xy²/[x² + y²] ] ) =  

aquí resuelves el primer límite, aplicas la propiedad del límite de una composición de una función continua compuesta con una función cuyo límite existe al resolver el segundo límite, y queda:

= -3 * Ln[ 5/2 + 0 ] = -3*Ln[5/2].

Haz el intento de completar la tarea, y si te resulta necesario no dudes en volver a consultar.

Espero haberte ayudado.

Respondo a tu interrogante ajunto. Si confrontas dudas al respecto, lo escribes y debatimos. Saludos.

Te muestro la función a la cual se le determina el límite en el origen de coordenadas. Aquí puedes ver como este límite tiende al valor (-3•ln(5/2)) localizado en el punto P.

Saludos.