Limite indeterminado

No entiendo ya el segundo paso, porque al aplicar el logaritmo no todo debe quedar dentro de su argumento. Supongo que (e^3*x² - 1)*sen²(x) deba quedar dividiendo al logaritmo de 2-cos(x²). Si puede aclararme esto, por favor.

Profesor Antonio no elimine su respuesta sin explicarme, por favor.

Coregimos, Anabel, y disculpa los horrores de tipeo, que nos han confundido..

Planteas la expresión del logaritmo natural del límite que tienes en estudio, aplicas la propiedad del logaritmo de una potencia, y queda:

Ln(L) = Lím[x→0] [ Ln[2 - cos(x²)] ] / [ e^3*x²*sen²(x) + cos²x - 1 ], 

aquí aplicas la identidad del opuesto del cuadrado del seno en función del cuadrado del coseno, y queda:

Ln(L) = Lím[x→0] [ Ln( 2 - cos(x²) ] / [ e^3*x²*sen²(x) - sen²(x) ],

a continuación extraes factor común en el denominador en el argumento del límite, y queda:

Ln(L) = Lím[x→0] [ Ln( [2 - cos(x²) ] / [ (e^3*x² - 1)*sen²(x)], 

y aquí observa que en la expresión en el argumento en el límite tienes:

- que su numerador tiende a 0, ya que la expresión en el argumento en el logaritmo tiende a 1 desde valores mayores que 1,

- que su denomindor tiende a 0 desde valores positivos,

por lo que tienes que el límite sigue estando indeterminado,

y puedes aplicar Regla de L'Hôpital para continuar con su resolución.

Haz el intento de continuar la tareas, y si te resulta necesario no dudes en volver a consultar.

Espero haberte ayudado.  

Muchas gracias Antonio. Ahora sí comprendo hasta este punto. Pero no puedo aplicar esta regla de L-Hospital, me piden resolver si su aplicación. Gracias.

Saludos Anabel, respondo adjunto.

Una forma alternativa, con un desarrollo por etapas.

1°)

Recuerda los desarrollos de Taylor:

e^u = 1 + u + u²/2 + u³/6 + ... ≅ 1 + u (1), cuando: u tiende a cero y toma valores muy cercanos a cero,

Ln(1 + u) = u - u²/2 + u³/3 - u⁴/4 + ... ≅ u (2), cuando: u tiende a cero y toma valores muy cercanos a cero,

cos(u) = 1 - u²/2 + u⁴/4 - u⁶/6 + ... ≅ 1 - u²/2 (3), cuando: u tiende a cero y toma valores muy cercanos a cero,

sen²(u) = (1/2)*[1 - cos(2*u)], aquí aplicas la identidad aproximada señalada (3), y queda:

sen²(u) ≅ (1/2)*[1 - (1 - [2*u]²/2)] ≅ (1/2)*[2*u²] ≅ u² (4), cuando: u tiende a cero y toma valores muy cercanos a cero.

2°)

Considera las expresiones que tienes en nuestro último límite, que también son las que indica el colega Enrique al fin en su primera línea:

a)

Aplicas la identidad aproximada señalada (3), al numerador en el agumento del límite, y queda:

Ln[2 - cos(x²)] ≅ Ln[2 - (1 - (x²)²/2)] ≅ Ln[1 + x⁴/2],

aquí aplicas la identidad aproximada señalda (2), y queda:

Ln[2 - cos(x²)] ≅ x⁴/2 (5).

b)

Aplicas la ientidad aproximada señalada (1), al primer factor en el denominador en el argumento del límite, y queda:

e^3*x² - 1 ≅ 1 + 3*x² - 1 = 3*x² (6).

c)

Aplicas la identidad señalada (4), al segundo factor en el denominador en el argumento del limite, y queda:

sen²(x) = x² (7).

3°)

Planteas la expresión en nuestro último límite:

Ln(L) = Lím[x→0] [ Ln( [2 - cos(x²) ] / [ (e^3*x² - 1)*sen²(x)] =

aquí sustutuyes las expresiones señaladas (5) (6) (7), y queda:

Ln(L) ≅ Lím[x→0] [ x⁴/2 ] / [ (3*x²)*x² ],  

ahora simplificas y resuelves la expresión en el argumento en el límite, resuelves el límite, y queda:

Ln(L) ≅ 1/6,

aquí compones en ambos miembros con la función exponencial natural, y queda:

L ≅ e^1/6.

Espero haberte ayudado.

Sí, profe Antonio. Lógicamente es una equivalencia infintesimal (cuando la variable tiende a ser cero) que se desprende del trabajo con las series de potencia de estas funciones independientes. Lo que sucede es que, ya al tenerlas tabuladas, se aplican directamente sobre el límite y se ahorra gran cantidad de tiempo en el proceso.