Problema para hallar asíntota horizontal.

Vamos con una orientación.

Observa que el dominio de la función que tienes en estudio es el conjunto de los números reales, que son estrictamente mayores que cero.

Luego, vamos con un desarrollo por etapas.

1°)

Expresas a las raíces como potencias con exponentes fraccionarios, expresas a los demás términos como potencias sucesivas, y queda:

h(x) = [ (x²)^1/x - (x² + 3)^1/x ] / [ (x² + 5)^1/x - (x²)^1/x ],

2°)

Divides por (x²)1/x en ambos términos en el numerador y en ambos términos en el denominador, resuelves expresiones en los cuatro términos (observa que tienes simplificaciones), y queda:

h(x) = [ 1 - (1 + 3/x²)^1/x ] / [ (1 + 5/x²)^1/x - 1 ] (*). 

3°)

Planteas las expresiones remarcadas por separado, operas, y queda:

a)

(1 + 3/x²)^1/x = (1 + 1/[x²/3])^{(x²/3)*(3/x³)} = [ (1 + 1/[x²/3])^(x²/3) ]^(3/x³),

aquí aplicas la sustitución (o cambio de variable): p = x²/3 (observa que esta nueva variable tiende a +infinito, cuando la variable "x" tiende a +infinito), para la base de esta expresión, y queda:

(1 + 3/x²)^1/x = [ (1 + 1/p)^p ]^(3/x³),

y aquí observa que si tomas límite para "p" tendiendo a +infinito tienes que la expresión remarcada tiende al número "e", y que la expresión que tienes en el exponente tiende a cero cuando x tiende a +infinito, por lo que resuelves el límite para la expresión remarcada, y puedes afirmar que el comportamiento de la expresión en estudio es semejante al de la función cuya expresión tienes a la derecha en la igualdad aproximada siguiente:

(1 + 3/x²)^1/x ~ e^(3/x³), cuando "x" tiende a +infinito,

b)

(1 + 5/x²)^1/x = (1 + 1/[x²/5])^{(x²/5)*(5/x³)} = [ (1 + 1/[x²/5])^(x²/5) ]^(5/x³),

aquí aplicas la sustitución (o cambio de variable): q = x²/5 (observa que esta nueva variable tiende a +infinito, cuando la variable "x" tiende a +infinito), para la base de esta expresión, y queda:

(1 + 5/x²)^1/x = [ (1 + 1/q)^q ]^(5/x³),

y aquí observa que si tomas límite para "q" tendiendo a +infinito tienes que la expresión remarcada tiende al número "e", y que la expresión que tienes en el exponente tiende a cero cuando x tiende a +infinito, por lo que resuelves el límite para la expresión remarcada, y puedes afirmar que el comportamiento de la expresión en estudio es semejante al de la función cuya expresión tienes a la derecha en la igualdad aproximada siguiente:

(1 + 5/x²)^1/x ~ e^(5/x³), cuando "x" tiende a +infinito.  

4°)

Sustituyes las expresiones exponenciales aproximantes en la expresión de la función "h" señalada (*), y su expresión aproximada cuando la variable "x" tiende a +infinito, queda:

h(x) ~ [ 1 - e^(3/x³) ] / [ e^(5/x³) - 1 ].

5°)

Aplicas la sustitución (o cambio de variable): w = 1/x³ (observa que esta nueva variable tiende a cero desde valores positivos, cuando "x" tiende a +infinito), planteas el límite de la función en estudio, que en forma aproximada queda:

Lím[x→+∞] h(x) ~ Lím[w→0+] [ 1 - e^(3*w) ] / [ e^(5*w) - 1 ],

y aquí observa que este límite continúa indeterminado, porque las expresiones que tienes en el numerador y en el denominador en su argumento tienden ambas a cero,

a continuación aplicas Regla de L'Hôpital, y queda:

Lím[x→+∞] h(x) ~ Lím[w→0+] [ -3*e^(3*w) ] / [ 5*e^(5*w) ], 

a continuación simplificas expresiones exponenciales, y queda:

Lím[x→+∞] h(x) ~ Lím[w→0+] [ -3/[5*e^(2*w)] ] = -3/5,

ya que la expresión exponencial tiende a cero.

6°)

Puedes concluir que la gráfica de la función en estudio presenta asíntota horizontal derecha, cuya ecuación es: y = -3/5.

Debes tener en cuenta que todo este desarrollo está muy resumido, y que debes agregar formalizaciones a todas las propiedades a las que hemos apelado para resolver este ejercicio. Sería conveniente además que consultes con tus docentes al respecto.

Espero haberte ayudado.

Adjunto mi respuesta, saludos...