FISICA EJERCICIOS

4)

Vamos con una orientación.

Para el bloque que desliza sobre la superficie horizontal de la izquierda, establece un sistema de referencia con eje OX horizontal con sentido positivo hacia la derecha según tu figura, y con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba, a continuación observa que sobre este bloque están aplicadas cuatro fuerzas: Peso (P₁ = M₁*g, vertical, hacia abajo), Acción normal de la superficie de apoyo (N₁, vertical, hacia arriba), Tensión de la cuerda (T, horizontal, hacia la derecha), y Rozamiento dinámico de la superficie de apoyo (frd₁ = μ_d*N₁, horizontal, hacia la izquierda); luego, aplicas la Segunda Ley de Newton, y quedan las ecuaciones (observa que sustituimos las expresiones de los módulos de las fuerzas):

T - μ_d*N₁ = M₁*a₁,

N₁ - M₁*g = 0, de aquí despejas: N₁ = M₁*g (1),

ahora sustituyes esta última expresión en la primera e cuación, y a continuación despejas: T = M₁*a₁ + μ_d*M₁*g (2).

Para el bloque que desliza sobre la superficie horizontal de la derecha, establece un sistema de referencia con eje OX horizontal con sentido positivo hacia la izquierda según tu figura, y con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba, a continuación observa que sobre este bloque están aplicadas cuatro fuerzas: Peso (P₂ = M₂*g, vertical, hacia abajo), Acción normal de la superficie de apoyo (N₂, vertical, hacia arriba), Tensión de la cuerda (T, horizontal, hacia la izquierda), y Rozamiento dinámico de la superficie de apoyo (frd₂ = μ_d*N₂, horizontal, hacia la izquierda); luego, aplicas la Segunda Ley de Newton, y quedan las ecuaciones (observa que sustituimos las expresiones de los módulos de las fuerzas): 

T - μ_d*N₂ = M₂*a₂, 

N₂ - M₂*g = 0, de aquí despejas: N₂ = M₂*g (3), 

ahora sustituyes esta última expresión en la primera e cuación, y queda: T - μ_d*M₂*g = M₂*a₂ (4).

Para el bloque colgante, establece un sistema de referencia con eje OY vertical con sentido positivo hacia abajo, a continuación observa que sobre este bloque está aplicadas tres fuerzas verticales: Peso (P3 = M3*g, hacia abajo), Tensión del tramo de cuerda izquierdo (T, hacia arriba), y Tensión del tramos de cuerda derecho (T, hacia arriba); luego, aplicas la Segunda Ley de Newton, y queda la ecuación (oberva que sustituimos la expresión de lmódulo del peso de este bloque):

M₃*g - 2*T = M₃*a₃ (5).

Luego, observa que en las cinco ecuaciones numeradas tienes seis incógnitas (los módulos de las dos acciones normales y de la tensión de la cuerda, y los módulos de las tres aceleraciones), por lo que necesitas establecer una ecuación más para resolver este problema, y aquí observa que si los bloques deslizantes se desplazan distancias |Δx₁| y |Δx₂|, entonces tienes que "se libera" un tramos de cuerda cuya longitud total tiene la expresión: |Δx₁| + |Δx₂|, y ahora observa que esta longitud se distribuye equitativamente entre los dos tramos de cuerda que sostienen al bloque colgante, por lo que el módulo de su desplazamiento correspondiente queda expresado:

|Δx₃| = (1/2)*(|Δx₁| + |Δx₂|),

ya ahora observa que realciones análogas a esta se verifican para las velocidades y para las aceleraciones de los bloques, por lo que puedes plantear la ecuación:

a₃ = (1/2)*(a₁ + a₂) (6). 

Luego, observa que con las seis ecuaicones numeradas tienes un sistema con seis incógnitas, observa que las ecuaciones señaladas (1) (3) ya están resueltas, por lo que queda para ti resolver el subsistema conformado por las ecuaciones señalads (2) (4) (5) (6).

Haz el intento de terminar la tarea, y si te resulta necesario no dudes en volver a consultar.

Para el problema que tienes en tu segunda figura, vamos con un planteo por etapas.

1°)

Establece un sistema de referencia con origen de coordenadas en el punto más bajo de la semicircunferencia que tienes dibujada, y con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba; luego, planteas la expresión de la energía mecánica inicial (observa qu el objeto parte desde el reposo y se encuentra elevado), planteas la expresión de la energía mecánica final (observa que el objeto se encuentra elevado se está desplazando), y queda (aquí recuerda que la energía mecánica es la suma de la energía potencial gravitatoria más la energía cinética de traslación, y también recuerda las expresiones de estas últimas):

EM_i = EPg_i = M*g*y_i = M*g*R,

EM_f = EPg_f + ECt_f = M*g*y_f + (1/2)*M*v_f² = M*g*R/2 + (1/2)*M*v_f² = (1/2)*M*(g*R + v_f²), 

a continuación, si desprecias todo tipo de pérdida por rozamientos, planteas conservación de la energía mecánica, y queda le ecuación:

EMf = EMi, aquí sustituyes expresiones, y queda:

(1/2)*M*(g*R + v_f²) = M*g*R, multiplicas por 2 y divides ppor M en ambos miembros, y queda:

g*R + v_f² = 2*g*R, ahora restas g*R en ambos miembros, y a continuación despejsa:

v_f = √(g*R) (1),

que es la expresión de la rapidez tangencial del objeto en la situación final.

2°)

Establece un sistema de referencia con origen de coordenadas en la posición final del objeto, con eje OX tangencial a la semicircunferencia con sentido positivo hacia la derecha, y con eje OY radial con sentido positivo hacia el centro de la circunferencia, y observa que designamos con "θ" al ángulo que determina la dirección del eje OY con el radio vertical que tienes señalado en tu figura, a continuación observa que sobre el objeto están aplicadas dos fuerzas: Peso (P = M*g, vertical, hacia abajo), y Acción normal de la superficie (N, radial, hacia arriba); luego, aplicas la Segunda Ley de Newton, y quedan las ecuaciones (aquí observa que la trayectoria que describe el objeto es circunferencial, que sustituimos la expresión del módulo del peso del objeto, y presta atención al ángulo que determina el eje OY con el radio vertical de la semicircunferencia):

M*g*senθ = M*a_T,

N - M*g*cosθ = M*a_R, 

y de estas ecuaciones puedes despejar:

a_T = g*senθ, que es la expresión del módulo de la componente tangencial de la aceleración del objeto,

N = M*g*cosθ + M*a_R,

aquí sustituyes la expresión del módulo de la componente radial (o centrípeta) de la aceleración del objeto, en función del módulo de su rapidez lineal y del radio de la trayectoria, y queda:

N = M*g*cosθ + M*v_f²/R,

aquí sustituyes la expresión señalada (1) en el último término, resuelves, simplificas, y queda:

N = M*g*cosθ + M*g (2),

a continuación sustituyes la expresión de coseno del ángulo en función de los datos que tienes en tu enunciado (aquí observa nuestra figura), y queda:

N = M*g*(1/2) + M*g, 

resuelves, y queda:

N = (3/2)*M*g.

Espero haberte ayudado.