ayuda con esta actividad, dominio y continuidad

Observa que la única condición que debe cumplirse es que la expresión del denominador en el primer trozo no tome el valor cero:

x³ + y² ≠ 0, de aquí despejas:

x ≠ -y^2/3.

Luego, como tienes el valor de la función en el origen de coordenadas definido en el segundo trozo de la expresión de la función, entonces tienes que la expresión de su dominio queda:

D = R² - { (x;y) ∈ R² : x ≠ -y^2/3 } ∪ { (0;0) }. 

Observa que tienes una función de dos variables, que está definida en el origen de coordenadas, pero no lo está en los demás puntos de la curva cuya ecuación cartesiana implícita es: x³ + y² = 0, y si lo está en todos los demás puntos pertenecientes a R².

Luego, como tienes que estudiar la continuidad de la función en el origen de coordenadas, para el que la función está definida en forma particular, aplicas la definición de continuidad de una función, y tienes:

1°)

f(0;0) = 0, por lo que la función está definida en el punt en estudio.

2°)

Lím[(x;y)→(0;0)] f(x;y) = Lím[(x;y)→(0;0)] 4*x²*y²/(x³ + y²) = no existe (nos adelantamos, y justificaremos esta afirmación que hacemos aquí),

y lo puedes probar por medio de las trayectorias a las que pertenece el punto en estudio, cuya expresión general es:

x³ = a*y⁵ - y², y de aquí tienes: x =(a*y⁵ - y²)^1/3, que es equivalente a:

x = y^2/3*(a*y³ - 1)^1/3, aquí elevas al cuadrado en el primer miembro y en los dos factores en el segundo miembro, y queda:

x² = y^4/3*(a*y³ - 1)^2/3, con a ∈ R, a ≠ 0.

Luego, sustituyes la primera expresion remarcada en el denominador del argumento del límite, sustituyes la segunda expresión remarcada en el segundo factor en el numerador del argumento del límite, y queda:

Lím(y→0) 4 * y^4/3*(a*y³ - 1)^2/3 * y² / (a*y⁵ - y² + y²) =

cancelas términos opuestos en el denominador, y queda:

= Lím(y→0) 4 * y^4/3*(a*y³ - 1)^2/3 * y² / (a*y⁵) =

reduces factores semejantes en el numerador, y queda:

= Lím(y→0) 4 * y^10/3*(a*y⁴ - 1)^2/3 / (a*y⁵) =

simplificas, y queda:

= Lím(y→0) 4 * (a*y⁴ - 1)^2/3 / (a*y^5/3) = no existe,

ya que la expresión en el nuerador tiende a 4, y la expresión en el numerador tiende a cero;

luego, como tienes que el límite de la función en el punto (0;0) no existe, 

entonces puedes concluir que la función no es continua en el origen de coordenadas.

Espero haberte ayudado.