Keyla Chavez
Ayuda por favor
Vamoc con una orientación.
1)
Observa que esta ecuación puede ser presentada en la forma (mnemotécnicamente: "divides por "x" en todos los términos):
2y3 - x3 + 3xy2*y' = 0, aquí sumas x3 en ambos miembros, ordenas términos, y queda:
3xy2*y' + 2y3 = x3, divides por "x" en todos los términos, y queda:
3y2*y' + (2/x)*y3 = x2 (*),
a continuación, puedes plantear la sustitución (o cambio de variable):
w = y3 (1),
de donde tienes:
w' = 3y2*y',
a continuación sustituyes las expresiones remarcadas en la ecuación diferencial señalad (*), y queda:
w' + (2/x)*w = x2,
que es una ecuación diferencial lineal de primer grado y de primer orden, cuya solución general tiene la expresión (te dejamos a ti el desarrollo correspondiente a la resolución de esta ecuación):
w = (1/5)*x3 + C*x-2, con: C ∈ R;
aquí sustiuyes la expresión señalada (1) en el primer miembro, y queda:
y3 = (1/5)*x3 + C*x-2 (2),
aquí reemplazas los valores correspondientes a la condición inicial que tienes en tu enunciado: x = 1, y = 1, resuelves términos, y queda:
1 = 1/5 + C, y de aquí despejas: C = 4/5,
a continuación reemplazas este valor en la ecuación señalada (2), extraes raíz cúbica en ambos miembros, y queda:
y = ∛[(1/5)*x3 + (4/5)*x-2],
que es la expresión explícita de la solución particular de la ecuación diferencial de tu enunciado, sujeta a la condición inicial indicada.
2)
Observa que divides por "x" en todos los términos de esta ecuación, y queda:
y' - (2/x)*y = 4x2*y1/2, aquí multiplicas por (1/2)y-1/2 en todos los términos, y queda:
(1/2)y-1/2*y' + (1/x)*y1/2 = 2x2 (*),
a continuación, puedes plantear la sustitución (o cambio de variable):
w = y1/2 (1),
de donde tienes:
w' = (1/2)y-1/2*y',
a continuación sustituyes las expresiones remarcadas en la ecuación diferencial señalad (*), y queda:
w' + (1/x)*w = 2x2,
que es una ecuación diferencial lineal de primer grado y de primer orden, cuya solución general tiene la expresión (te dejamos a ti el desarrollo correspondiente a la resolución de esta ecuación):
w = (1/2)*x3 + C*x-1, con: C ∈ R;
aquí sustiuyes la expresión señalada (1) en el primer miembro, y queda:
y1/2 = (1/2)*x3 + C*x-1 (2),
aquí reemplazas los valores correspondientes a la condición inicial que tienes en tu enunciado: x = 1, y = 0, resuelves términos, y queda:
0 = 1/2 + C, y de aquí despejas: C = -1/5,
a continuación reemplazas este valor en la ecuación señalada (2), elevas al cuadrado en ambos miembros, y queda:
y = [(1/2)*x3 - (1/5)*x-1]2,
que es la expresión explícita de la solución particular de la ecuación diferencial de tu enunciado, sujeta a la condición inicial indicada.
Espero haberte ayudado.