2 nuevos ejercicios de mecánica con muelles

136)

Establece un sistema de referencia con origen de coordenadas a nivel del extremo inferior del muelle, y con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba.

Luego, planteas la expresión de la energía mecánica inicial del sistema objeto-muelle (observa que el objeto se encuentra elevado y en movimiento y que el muelle se encuentra relajado), y queda:

EM_i = EPg_i + ECt_i = M*g*(L + h₀) + (1/2)*M*v_i².

Luego, planteas la expresión de la energía mecánica final del sistema objeto-muelle (observa que el objeto se encuentra elevado y en reposo y que el muelle se encuentra comprimido una longitud que designamos: Δs), y queda: 

EM_f = EPg_f + EPe_f = M*g*(L - Δs) + (1/2)*k*Δs².

Luego, planteas conservación de la energía mecánica, igualas expresiones, y queda la ecuación:

M*g*(L - Δs) + (1/2)*k*Δs² = M*g*(L + h₀) + (1/2)*M*v_i²,

a continuación distribuyes en el primer término en el primer miembro y en el segundo miembro, restas M*g*L en ambos miembros, y queda:

-M*g*Δs + (1/2)*k*Δs² = M*g*h₀ + (1/2)*M*v_i²,

aquí reemplazas datos expresados en unidades internacionales:

M = 100 gr = 0,1 Kg, g = 10 m/s², k = 400 N/m, h₀ = 10 m, v_i = 2 m/s,

resuelves expresiones en los términos, resuelves en el segundo miembro, y queda:

-1*Δs + 200*Δs² = 10,2,

aquí restas 10,2 en ambos miembros, ordenas términos, y queda:

200*Δs² - 1*Δs - 10,2 = 0,

que es una ecuación polinómica cuadrática, cuyas soluciones son:

1°)

Δs = (1 - √[8161])/400 m ≅ -0,223 m, que no tiene sentido para este problema (recuerda que Δs expresa una longitud),

2°)

Δs = (1 + √[8161])/400 m ≅ 0,228 m. 

140)

Considera la situación inicial, en la que el muelle se encuentra comprimido y el bloque superior está en reposo, a continuación planteas la expresión de la energía mecánica del sistema muelle-bloques, y queda (observa que designamos con: L a la longitud natural del muelle, que los bloques están reposo, y que el bloque superior está elevado):

EM_i = (1/2)*k*Δs_i² + M*g*(L - Δs_i),

aquí reemplazas datos expresados en unidades internacionales: 

k = 545 N/m, Δs_i = 5 cm = 0,05 m, M = 0,5 Kg, g = 10 m/s², resuelves expresiones en los términos, y queda:

EM_i = 0,68125 + 5*(L - 0,05),

a continuación distribuyes en el útimo término, reduces términos semejantes, y queda:

EM_i = 0,43125 + 5*L.

a)

Considera la situación final, en la que el muelle está estirado y el bloque inferior está a punto de despegar del suelo, aquí aplicas la Primera Ley de Newton para este bloque, y queda la ecuación (observa que empleamos un sistema de referencia con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba, observa que la acción normal de la superficie de apoyo es nula en esta situación, y observa que sustituimos la expresión del módulo de la fuerza elástica y la expresión del módulo del peso del bloque inferior):

k*Δs_f - M*g = 0, 

y de aquí despejas:

Δs_f = M*g/k,

aquí reemplazas datos expresados en unidades internacionales: k = 545 N/m, M = 0,5 Kg, g = 10 m/s², resuelves, y queda: 

Δs_f = 1/109 m ≅ 0,009 m;

luego, planteas la expresión de la energía mecánica final del sistema muelle-bloques, y queda (observa que el bloque inferior está en reposo y que no está elevado, que el muelle está estirado, y que el bloque superior está elevado y en movimiento, y queda:

EM_f = (1/2)*k*Δs_f² + M*g*(L + Δs_f) + (1/2)*M*v_f²,

aquí reemplazas valores expresados en unidades internacionales, y queda:

EM_f = (1/2)*545*(1/109)² + 0,5*10*(L + 1/109) + (1/2)*0,5*v_f²,

resuelves expresiones en los términos, y queda:

EM_f = 5/218 + 5*(L + 1/109) + (1/4)*v_f²,

aquí distribuyes en el segundo miembro, reduces términos semejantes, y queda:

EM_f = 15/218 + 5*L + (1/4)*v_f²;

luego, planteas conservación de la energía mecánica entre la situación inicial y la situación final, y queda la ecuación:

EM_f = EM_i,

aquí sustituyes expresiones, y queda:

15/218 + 5*L + (1/4)*v_f² = 0,43125 + 5*L,

ahora restas 5*K en ambos miembros, a continuación multiplicas por 4 en todos los términos, y queda:

30/109 + v_f² = 1,725,

y de aquí despejas:

v_f = √(1,725 - 30/109) m/s ≅ 1,204 m/s.

b)

Planteas la expresión del trabajo de la fuerza de rozamiento dinámico sobre el bloque inferior (recuerda que esta fuerza es disipativa, por lo que tienes que el sistema muelle-bloques pierde energía), y queda:

W_frd = -fr_d*Δs_f,

aquí reemplazas datos, resuelves, y queda:

W_frd = -5*(1/109) = -5/109 J ≅ 0,046 J;

luego, planteas la ecuación "trabajo-variación de energía mecánica" para el sistema en esta nueva situación en estudio, y queda:

W_frd = EM_F - EM_i,

aquí sustituyes las expresiones de las energías mecánicas, y queda:

W_frd = (1/2)*k*Δs_f² + M*g*(L + Δs_f) + (1/2)*M*v_F² - [(1/2)*k*Δs_i² + M*g*(L - Δs_i)], 

aquí distribuyes en el segundo y en el útimo término, cancelas términos opuestos, y queda:

W_frd = (1/2)*k*Δs_f² + M*g*Δs_f + (1/2)*M*v_F² - (1/2)*k*Δs_i² + M*g*Δs_i,

aquí multiplicas por 2 y divides por M en todos los términos, ordenas términos, extraes factores comunes parciales, y queda:

2*W_frd/M = (1/2)*k*(Δs_f² - Δs_i²)/M + 2*g*(Δs_f + Δs_i) + v_F²,

y queda para ti reemplazar valores, y despejar el valor de la rapidez final del bloque superior.

Espero haberte ayudado.