Yaser
Un cuerpo que se desplaza en línea recta recorrió la mitad de la distancia total con una velocidad v0. El resto de la distancia se cubrió con una velocidad v1 durante la mitad del tiempo y con una velocidad v2 durante la otra mitad. Halla la velocidad media promediada durante todo el tiempo de movimiento. Paso a paso, por favor. Gracias.
Vamos con una orientación, por medio de un desarrollo detallado, y te sugerimos que lo sigas con lápiz, papel y muchísima atención y paciencia.
Establece un sistema de referencia, con origen de coordenadas e instante inicial: tᵢ = 0 correspondientes a la partida del móvil, y con eje OX con dirección y sentido positivo acordes a su desplazamiento, a continuación planteas la ecuación tiempo-posición completa de Movimiento Rectilíneo Uniforme, y queda:
x = xᵢ + v*(t - tᵢ) (*);
luego, vamos con cada una de las tres etapas por separado, recuerda que los datos finales en una etapa son los datos iniciales en la etapa siguiente, observa que los intervalos de tiempo en las dos últimas etapas son iguales, observa que la distancia total recorrida en las dos últimas etapas es igual a la mitad de la distancia total, y observa que designamos con D a la distancia total recorrida..
Etapa 0:
Planteas la expresión del intervalo de tiempo, en función de la distancia recorrida: D₀ = D/2, y a la rapidez del móvil: |v₀|, y queda:
Δt₀ = (D/2)/|v₀| = D/(2*|v₀|) (0).
Etapa 1:
Planteas la expresión de la distancia recorrida por el móvil, en función de su rapidez: |v₁|, y del intervalo de tiempo empleado: Δt₁₂, y queda:
D₁ = |v₁|*Δt₁₂ (1).
Etapa 2:
Planteas la expresión de la distancia recorrida por el móvil, en función de su rapidez: |v₂|, y del intervalo de tiempo empleado: Δt₁₂, y queda:
D₂ = |v₂|*Δt₁₂ (2).
Luego, sumas miembro a miembro las ecuaciones señaladas (1) (2), y la expresión de la distancia recorrida por el móvil en las dos últimas etapas, queda:
D₁ + D₂ = |v₁|*Δt₁₂ + |v₂|*Δt₁₂,
aquí extraes factor común en el segundo miembro, y queda:
D₁ + D₂ = (|v₁| + |v₂|)*Δt₁₂,
ahora sustituyes la expresión en el primer miembro, en función de la distancia total recorrida por el móvil (recuerda que en las dos últimas etapas completa la mitad de la distancia total que recorre), y queda:
D/2 = (|v₁| + |v₂|)*Δt₁₂,
y a continuación despejas:
Δt₁₂ = D/(2*(|v₁| + |v₂|)) (3),
que es la expresión del intervalo de tiempo que emplea el movil para realizar cada una de sus dos últimas etapas.
Luego, planteas la expresión del desplazamiento total del móvil (observa que se desplaza con el sentido positivo del eje OX en las tres etapas), y queda:
Δx = D (4).
Luego, planteas la expresión del intervalo de tiempo empleado total, como la suma de los intervalos empleados en las tres etapas (recuerda que los intervalos temporales son iguales en las dos últimas etapas), y queda:
Δt = Δt₀ + Δt₁₂ + Δt₁₂,
a continuación reduces los dos últimos términos, y queda:
Δt = Δt₀ + 2*Δt₁₂,
aquí sustituyes las expresiones señaladas (0) (3) en el segundo miembro, y queda:
Δt = D/(2*|v₀|) + 2*D/(2*(|v₁| + |v₂|)),
ahora simplificas en el último término, después extraes factor común D en el segundo miembro, y queda:
Δt = D*(1/(2*|v₀|) + 1/(|v₁| + |v₂|)) (5).
Luego, planteas la expresión de la velocidad media del móvil, como la división de su desplazamiento total entre el intervalo de tiempo empleado total, y queda:
vm = Δx / Δt,
a continuación sustituyes las expresiones señaladas (4) (5) en el segundo miembro, y queda:
vm = D / (D*(1/(2*|v₀|) + 1/(|v₁| + |v₂|))),
aquí simplificas la expresión de la distancia total recorrida, que tienes como factor en el numerador y en el denominador, y queda:
vm = 1 / (1/(2*|v₀|) + 1/(|v₁| + |v₂|)).
Espero haberte ayudado.