¿Alguna ayuda?

Tienes la expresión de la aceleración del móvil:

a(t) = b*t²,

a continuación sustituyes la expresión de la aceleración, como la derivada de la velocidad del móvil con respecto al tiempo, y queda:

dv(t)/dt = b*t²,

aquí separas variables, y queda:

dv(t) = b*t²*dt,

ahora integras en ambos miembros, y queda:

v(t) = (1/3)*b*t³ + C (1),

que es la expresión general de la velocidad del móvil en función del tiempo,

a continuación planteas la condición inicial: el objeto parte desde el reposo, y puedes plantear la ecuación:

v(0) = 0,

aquí sustituyes la expresión señalada (1) evaluada en el primer miembro, y queda:

(1/3)*b*0³ + C = 0,

ahora cancelas el primer término (observa que es igual a cero), y queda:

C = 0,

a continuación reemplazas este valor en la expresión de la velocidad del móvil señalada (1), cancelas su término nulo, y queda:

v(t) = (1/3)*b*t³ (2),

que es la expresión particular de la velocidad del móvil, para la condición que tienes en tu enunciado, y observa que toma valores positivos en todo instante, ya que los valores del tiempo son positivos.

Luego, planteas la expresión del desplazamiento del móvil desde el instante inicial: tᵢ = 0, hasta el instante final: t₁ = 6,3 s, como la integral definida de la expresión particular de la velocidad señalada (2), y queda:

∆x = _tᵢ∫^t₁ (1/3)*b*t³*dt, 

a continuación extraes factores constantes, integras, y queda (observa que inidicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow, entre el instante inicial y el instante final):

∆x = (1/3)*b*[ (1/4)*t⁴ ],

aquí evalúas, y queda:

∆x = (1/3)*b*( (1/4)*t₁⁴ - (1/3)*tᵢ⁴ ),

ahora reemplazas valores: b = 0,041 m/s⁴, t₁ 6,3 s, tᵢ = 0, y queda:

∆x = (1/3)*0,041*( (1/3)*6,3⁴ - (1/3)*0⁴ ), 

aquí cancelas el segundo término en el agrupamiento (observa que es igual a cero), resuelves, y queda:

∆x ≅ 7,176 m.

Espero haberte ayudado.