Yaser
Un objeto comienza a moverse en línea recta desde la posición x0, en el instante t = 0, con velocidad v0. Su aceleración está dada por a = a0 + bt, donde a0 y b son constantes. Utiliza la integración para hallar expresiones para a) la velocidad instantánea y b) la posición, en función del tiempo. Paso a paso, por favor. Gracias.
Tienes la expresión de la aceleración del móvil, en función del tiempo:
a(t) = a₀ + b*t (1),
con las condiciones iniciales, correspondientes al instante inicial: t = 0:
v(0) = v₀ (*),
x(0) = x₀ (**).
a)
Sustituyes la expresión de la aceleración, como derivada de la velocidad con respecto al tiempo, en el primer término en la ecuación señalada (1), y queda:
dv(t)/dt = a₀ + b*t,
aquí separas variables (observa que "multiplicamos" por dt en ambos miembros), y queda:
dv(t) = (a₀ + b*t)*dt,
a continuación integras en ambos miembros (observa que integramos término a término en el segundo miembro), y queda:
v(t) = a₀*t + b*t²/2 + C (2),
que es la expresión general de la velocidad del móvil, en función del tiempo,
ahora sustituyes la expresión señalada (2) evaluada para t = 0 en el primer miembro en la ecuación señalada (*), y queda:
a₀*0 + b*0²/2 + C = v₀,
aquí cancelas los dos primeros términos (observa que son iguales a cero), y queda:
C = v₀,
a continuación sustituyes esta expresión en el último término en la ecuación señalada (2), y queda:
v(t) = a₀*t + b*t²/2 + v₀,
aquí ordenas términos, ordenas factores en el término cuadrático, y queda:
v(t) = v₀ + a₀*t + (1/2)*b*t² (3),
que es la expresión particular de la velocidad del móvil, para la condición inicial de su velocidad que tienes en tu enunciado.
b)
Sustituyes la expresión de la velocidad, como derivada de la posición con respecto al tiempo, en el primer término en la ecuación señalada (3), y queda:
dx(t)/dt = v₀ + a₀*t + (1/2)*b*t²,
aquí separas variables (observa que "multiplicamos" por dt en ambos miembros), y queda:
dx(t) = (v₀ + a₀*t + (1/2)*b*t²)*dt,
a continuación integras en ambos miembros (observa que integramos término a término en el segundo miembro), y queda:
x(t) = v₀*t + a₀*t²/2 + (1/2)*b*t³/3 + D,
aquí ordenas factores en el segunod término, resuelves el coeficiente en el tercer término, y queda:
x(t) = v₀*t + (1/2)*a₀*t² + (1/6)*b*t³ + D (4),
que es la expresión general de la posición del móvil, en función del tiempo,
ahora sustituyes la expresión señalada (4) evaluada para t = 0 en el primer miembro en la ecuación señalada (**), y queda:
v₀*0 + (1/2)*a₀*0² + (1/6)*b*0³ + D = x₀,
aquí cancelas los tres primeros términos (observa que son iguales a cero), y queda:
D = x₀,
a continuación sustituyes esta expresión en el último término en la ecuación señalada (4), y queda: queda:
x(t) = v₀*t + (1/2)*a₀*t² + (1/6)*b*t³ + x₀,
aquí resuelves el coeficiente en el término cuadrático, ordenas términos, y queda:
x(t) = x₀ + v₀*t + (1/2)*a₀*t² + (1/6)*b*t³,
que es la expresión particular de la posición del móvil, para la condición inicial de su velocidad que tienes en tu enunciado.
Espero haberte ayudado.