¿Alguna ayuda?

Establece un sistema de referencia con origen de coordenadas a nivel de la pista, con instante inicial: tᵢ = 0 correspondiente al despegue del patinador, y con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba, a continuación considera las ecuaciones tiempo-posición y tiempo-velocidad de Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado:

y = yᵢ + vᵢ*t + (1/2)*a*t²,

v = vᵢ + a*t,

aquí sustituyes, en ambas ecuaciones, la expresión de la posición inicial: yᵢ = 0, sustituyes la expresión de la aceleración: a = -g, y queda:

y = 0 + vᵢ*t + (1/2)*(-g)*t², 

v = vᵢ + (-g)*t, 

ahora cancelas el término nulo en la primera ecuación, resuelves expresiones en los últimos términos en ambas ecuaciones, y queda:

y = vᵢ*t - (1/2)*g*t² (a),  

v = vᵢ - g*t (b).

Luego, vamos con un desarrollo por etapas.

1°)

Luego, para determinar la expresión del intervalo de tiempo en el que el patinador está en el aire, planteas la condición de llegada a nivel de la pista, y queda la ecuación:

y = 0,

aquí sustituyes la expresión señalada (a) en el primer miembro, y queda:

vᵢ*t - (1/2)*g*t² = 0,

ahora multiplicas por 2 en todos los términos, y queda:

2*vᵢ*t - g*t² = 0,

a continuación extraes factor común, y queda:

t*(2*vᵢ - g*t) = 0,

y por anulación de una multiplicación, tienes dos opciones:

I)

tᵢ = 0, 

que es el instante en el cual el patinador inicia su salto,

II)

2*vᵢ - g*t = 0,

y de aquí despejas:

t_f = 2*vᵢ/g,

que es la expresión del instante final, en el cual el patinador vuelve a tocar la pista,

a continuación planteas la expresión del intervalo de tiempo en el que el patinador está en el aire, sustituyes expresiones, y queda:

Δt₁ = t_f - tᵢ = 2*vᵢ/g - 0 = 2*vᵢ/g (1).

2°)

Para determinar la rapidez inicial del patinador, planteas la condición de altura máxima (recuerda: el patinador "no asciende ni desciende" en el instante correspondiente):

y = h,

v = 0,

ahora sustituyes las expresiones señaladas (a) (b) en estas ecuaciones, y queda:

vᵢ*t - (1/2)*g*t² = h (2a),

vᵢ - g*t = 0,

y de esta última ecuación despejas:

t = vᵢ/g (2b),

que es la expresión del instante en el cuál el patinador alcanza su altura máxima,

a continuación sustituyes la expresión señalada (2b) en la ecuación señalada (2a), y queda:

vᵢ*(vᵢ/g) - (1/2)*g*(vᵢ/g)² = h,

aquí resuelves expresiones, y queda:

vᵢ²/g - (1/2)*vᵢ²/g = h,

ahora reduces términos semejantes en el primer término, y queda:

(1/2)*vᵢ²/g = h,

y de aquí despejas:

vᵢ = √(2*g*h) (2),

que es la expresión de la rapidez inicial del patinador.

3°)

Luego, para determinar la expresión del intervalo de tiempo en el que el patinador está por encima de la mitad de su altura máxima, planteas la condición de su llegada a la posición correspondiente, y queda la ecuación:

y = h/2,

a continuación sustituyes la expresión señalada (a) en el primer miembro, y queda:

vᵢ*t - (1/2)*g*t² = h/2,

aquí multiplicas por -2 en todos los términos, y queda:

-2*vᵢ*t + g*t² = -h, 

ahora sumas h en ambos miembros, ordenas términos, y queda:

g*t² - 2*vᵢ*t + h = 0,

que es una ecuación polinóimca cuadrática para la incógnita "t", cuyos coeficientes son:

A = g, B = -2*vᵢ, C = h,

a continuación planteas Fórmula de Baskara (o Fórmula Resolvente), y la expresión general de las dos soluciones de esta ecuación queda:

t = (-B ± √(B² - 4*A*C))/(2*A),

aquí sustituyes las expresiones de los coeficientes, resuelves signos en el numerador, y queda:

t = (2*vᵢ ± √((2*vᵢ)² - 4*g*h))/(2*g), 

ahora resuelves en el primer término en el argumento en la raíz cuadrada, y queda:

t = (2*vᵢ ± √(4*vᵢ² - 4*g*h))/(2*g),  

a continuación extraes factor común en el argumento en la raíz cuadrada, y queda:

t = (2*vᵢ ± √(4*(vᵢ² - g*h)))/(2*g),  

aquí distribuyes la raíz cuadrada entre los dos factores que tienes en su argumento, resuelves para el primero de esos factores, y queda:

t = (2*vᵢ ± 2*√(vᵢ² - g*h))/(2*g),  

ahora distribuyes el denominador entre los dos términos que tienes en el numerador, simplificas expresiones numéricas en ambos términos, y queda:

t = vᵢ/g ± √(vᵢ² - g*h)/g,

y de aquí tienes dos opcones:

I)

t_a = vᵢ/g - √(vᵢ² - g*h)/g,

que es la expresión del instante en el cual el patinador está ascendiendo, y se encuentra en la mitad de su altura máxima,

II)

t_d = vᵢ/g + √(vᵢ² - g*h)/g, 

que es la expresión del instante en el cual el patinador está descendiendo, y se encuentra en la mitad de su altura máxima, 

a continuación planteas la expresión del intervalo de tiempo en el que el patinador está en el aire y por encima de la mitad de su altura máxima, y queda: 

Δt₃ = td - ta,

aquí sustituyes expresiones en el segundo miembro, y queda:

Δt₃ = vᵢ/g + √(vᵢ² - g*h)/g - (vᵢ/g - √(vᵢ² - g*h)/g),

ahora distribuyes el signo en el último término, y queda:

Δt₃ = vᵢ/g + √(vᵢ² - g*h)/g - vᵢ/g + √(vᵢ² - g*h)/g, 

a continuación cancelas términos opuestos, reduces términos semejantes, y queda:

Δt₃ = 2*√(vᵢ² - g*h)/g (3).

4°)

Planteas la expresión de la fracción de tiempo en que el patinador se encuentra por encima de la mitad de su altura máxima, con respecto al intervalo total en que se encuentra en el aire, sustituyes la expresiones señaladas (3) (1), y queda:

Δt₃/Δt₁ = (2*√(vᵢ² - g*h)/g)/(2*vᵢ/g),

a continuación resuelves la división entre expresiones fraccionarias, simplificas, y queda:

Δt₃/Δt₁ = √(vᵢ² - g*h)/vᵢ, 

aquí sustituyes la expresión de la rapidez inicial del patinador señalada (2), y queda:

Δt₃/Δt₁ = √((√(2*g*h))² - g*h)/√(2*g*h),  

ahora simplificas raíz y potencia en el primer término en el argumento en la raíz cuadrada que tienes en el numerador, y queda:

Δt₃/Δt₁ = √(2*g*h - g*h)/√(2*g*h),  

a continuación reduces términos semejantes en el argumento en la raíz cuadrada en el numerador, y queda:

Δt₃/Δt₁ = √(g*h)/√(2*g*h),  

aquí asocias raíces cuadradas, y queda:

Δt₃/Δt₁ = √(g*h/(2*g*h)),  

ahora simplificas en el argumento en la raíz cuadrada, y queda:

Δt₃/Δt₁ = √(1/2) ≅ 0,707,

que es la fracción de tiempo que te piden determinar en tu enunciado.

Espero haberte ayudado.