Yaser
Estás en la cima de un edificio de altura h, y un amigo está a punto de dejar caer una pelota desde una ventana a h/2. Encuentra una expresión para la velocidad a la que deberías lanzar simultáneamente una pelota hacia abajo, de modo que ambas toquen el suelo al mismo tiempo. Paso a paso, por favor. Gracias.
Vamos con mi aporte.
Establece un sistema de referencia con origen de coordenadas a nivel del suelo, con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba, y con instante inicial: tᵢ = 0, correspondiente al momento en el que los dos móviles inician sus desplazamientos. Luego, planteas la ecuación tiempo-posición de Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado para el instante inicial indicado, y queda:
y = yᵢ + vᵢ*t + (1/2)*a*t² (*).
Luego, para la primera pelota, observa que tienes los datos iniciales:
yᵢ = h, vᵢ = v₀, a = -g,
a continuación sustituyes estas expresiones en la ecuación señalada (*), y queda:
y = h + v₀*t - (1/2)*g*t² (1).
Luego, para la segunda pelota, observa que tienes los datos iniciales (aquí ten en cuenta que a esta pelota "se la deja caer", lo que significa que parte desde el reposo):
yᵢ = h/2, vᵢ = 0, a = -g,
a continuación sustituyes estas expresiones en la ecuación señalada (*), cancelas el término nulo, reselves el coeficiente en el último término, y queda:
y = h/2 - (1/2)*g*t² (2).
Luego, planteas la condición de llegada de los dos móviles a nivel del suelo: y = 0, a continuación reemplazas este valor en las ecuaciones señaladas (1) (2), y queda:
0 = h + v₀*t - (1/2)*g*t² (3),
0 = h/2 - (1/2)*g*t² (4),
aquí restas miembro a miembro la ecuación señalada (4) de la ecuación señalada (3), y queda:
0 = h + v₀*t - (1/2)*g*t² - (h/2 - (1/2)*g*t²),
ahora distribuyes el signo en el último término, y queda:
0 = h + v₀*t - (1/2)*g*t² - h/2 + (1/2)*g*t²,
a continuación reduces términos semejantes (observa que tienes cancelación de términos cuadráticos), y queda:
0 = h/2 + v₀*t,
aquí restas h/2 en ambos miembros, y a continuación despejas:
t = -h/(2*v₀) (5),
ahora sustituyes esta última expresión en la ecuación señalada (4) (o en la ecuación señalada (3), si prefieres), y queda:
0 = h/2 - (1/2)*g*(-h/(2*v₀))²,
a continuación resuelves la potencia en el último factor en el último término, y queda:
0 = h/2 - (1/2)*g*h²/(4*v₀²),
aquí resuelves la expresión en el último término, y queda:
0 = h/2 - (1/8)*g*h²/v₀²,
ahora restas h/2 en ambos miembros, y queda:
-h/2 = -(1/8)*g*h²/v₀²,
a continuación multiplicas por -2 en ambos miembros, y queda:
h = (1/4)*g*h²/v₀²,
aquí multiplicas por v₀² y divides por h en ambos miembros, y queda:
v₀² = (1/4)*g*h,
a continuación extraes raíz cuadrada en ambos miembros (observa que elegimos la raíz negativa en el segundo miembro, ya que la velocidad incial de la primera pelota tiene sentido hacia abajo), extraes el factor numérico fuera de la raíz cuadrada, y queda:
v₀ = -√((1/4)*g*h) = -(1/2)*√(g*h),
que es la expresión de la velocidad inicial de la primera pelota;
luego, si te lo solicitan tus docentes, puedes sustituir esta última expresión en la ecuación señalada (5), y al resolverla obtendrás la expresión del instante en el cual las dos pelotas alcanzan el nivel del suelo.
Espero haberte ayudado.
Ahí vamos, Yaser.
Sustituyes la última expresión remarcada en la ecuación señalada (5), y queda:
t = -h/(2*(-(1/2)*√(g*h))),
a continuación simplifics expresiones numéricas en el denominador, y queda:
t = -h/(-√(g*h)),
aquí resuelves signos, y queda:
t = h/(√(g*h)),
ahora expresas al numerador como la raíz cuadrada de su cuadrado (recuerda que "h" expresa a la altura del edificio, por lo que es una expresión positiva, y recuerda: h = √(h²), y queda:
t = √(h²)/(√(g*h)),
a continuación asocias raíces cuadradas, y queda:
t = √(h²/g*h),
aquí simplficas en el argumento en la raíz cuadrada, y queda:
t = √(h/g),
que es la expresión del instante en el cual las dos peltotas alcanzan el nivel del suelo.
Espero haberte ayudado.