Yaser
Un objetivo está fijo en la parte superior de un poste de 13 metros de altura. Una persona que se encuentra a una distancia de 50 metros del poste es capaz de proyectar una piedra con una velocidad de 10 √g ms-1. Si quiere golpear el objetivo en el menor tiempo posible, ¿a qué ángulo debe proyectar la piedra? Paso a paso, por favor. Gracias.
Establece un sistema de referencia con origen de coordenadas a nivel del suelo, en la ubicación de la persona, con eje OX horizontal con dirección y sentido positvo acordes al desplazamiento de la piedra, con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba, y con instante inicial: tᵢ = 0 correspondiente al lanzamiento del proyectil. Luego, planteas la ecuación de la trayectoria de Movimiento Parabólico , y queda:
y = x*tanθ - (1/2)*(g/(vᵢ²*cos²θ))*x²,
a continuación reemplazas los valores de las componentes de la posición del objetivo: x = 50 m, y = 13 m, sustituyes la expresión de la rapidez inicial de la piedra: vᵢ = 10*√(g) m/s, y queda:
13 = 50*tanθ - (1/2)*(g/((10*√((g))²*cos²θ))*50²,
ahora resuelves la expresión de la potencia, en el denominador en el último término, y queda:
13 = 50*tanθ - (1/2)*(g/(100*g*cos²θ))*50²,
aquí simplificas y resuelves la expresión en el último término, y queda:
13 = 50*tanθ - 25/(2*cos²θ),
a continuación expresas a la tangente del ángulo de disparo en función de su seno y de su coseno, y queda:
13 = 50*senθ/cosθ - 25/(2*cos²θ),
aqui multiplicas por 2 y por cos²θ en todos los términos, simplificas en ambos términos en el segundo miembro, y queda:
26*cos²θ = 100*senθ*cosθ - 25,
ahora sumas 25 en ambos miembros, después elevas al cuadrado en ambos miembros, y queda:
(26*cos²θ + 25)² = (100*senθ*cosθ)²,
a continuación desarrollas la suma elevada al cuadrado en el primer miembro, distribuyes la potencia en el segundo miembro, y queda;
676*(cos²θ)² + 1300*cos²θ + 625 = 10000*sen²θ*cos²θ,
aquí expresas al cuadrado del seno en función del cuadrado del coseno, en el segundo miembro, y queda:
676*(cos²θ)² + 1300*cos²θ + 625 = 10000*(1 - cos²θ)*cos²θ (1),
y ahora observa que puedes plantear la sustitución (o cambio de incógnita):
cos²θ = w (2),
a continuación sustituyes esta expresión en la ecuación señalada (1), y queda:
676*w² + 1300*w + 625 = 10000*(1 - w)*w,
aquí distribuyes en el segundo miembro, y queda:
676*w² + 1300*w + 625 = 10000*w - 10000*w²,
ahora sumas 10000*w² y restas 10000*w en amos miembros, y queda:
10676*w² - 8700*w + 625 = 0,
que es una ecuación polinómica cuadrática, por lo que aplicas Fórmula de Baskara (o Fórmula Resolvente), y la expresión general de sus dos soluciones, queda:
w = (8700 ± 7000)/21352,
y de aquí tienes dos opciones:
a)
w = (8700 + 7000)/21352,
a continuación resuelves, y queda:
w ≅ 0,735,
ahora reemplazas este valor en la ecuación señalada (2), y queda:
cos²θ ≅ 0,735,
aquí extraes raíz cuadrada en ambos miembros (recuerda que los ángulos de lanzamiento corresponden al primer cuadrante, por lo que elegimos la raíz positiva), y queda:
cosθ ≅ 0,857,
a continuación compones con la función inversa del coseno, y queda:
θ ≅ 30,964° (3),
b)
w = (8700 - 7000)/21352,
a continuación resuelves, y queda:
w ≅ 0,080,
ahora reemplazas este valor en la ecuación señalada (2), y queda:
cos²θ ≅ 0,080,
aquí extraes raíz cuadrada en ambos miembros (recuerda que los ángulos de lanzamiento corresponden al primer cuadrante, por lo que elegimos la raíz positiva), y queda:
cosθ ≅ 0,282,
a continuación compones con la función inversa del coseno, y queda:
θ ≅ 73,610° (4);
luego, a fin de determinar cuál de los ángulos de disparo corresponde al menor intervalo de tiempo necesario para impactar en el objetivo, planteas la expresión de la componente horizontal de la posición del objetivo, y queda:
x = vᵢ*cosθ*t,
y a continuación despejas:
t = x/(vᵢ*cosθ),
aquí sustituyes datos: x = 50 m, vᵢ = 10*√(g) m/s, y queda:
t = 50/(10*√(g)*cosθ),
ahora simplificas, y queda:
t = 5/(√(g)*cosθ),
a continuación, y para cada uno de los valores señalados (3) (4), reemplazas, y queda:
ta ≅ 5/(√(g)*cos(30,964°)),
tb ≅ 5/(√(g)*cos(73,610°)),
aquí divides miembro a miembro la primera ecuación entre la segunda, simplificas y resuelves en el segundo miembro, y queda:
ta/tb ≅ cos(73,610°)/cos(30,964°),
ahora resuelves en el segundo miembro, y queda:
ta/tb ≅ 0,329 < 1,
y como el valor obtenido es menor que uno, puedes concluir que el ángulo de lanzamiento indicado en el inciso (a) es el que corresponde al menor intervalo de tiempo necesario para que la piedra impacte en el objetivo.
Espero haberte ayudado.