Yaser
Se dispara un proyectil con un cañón desde la parte inferior de una colina a lo largo de su pendiente. La pendiente de la colina es α = 30º, y el ángulo del cañón con respecto a la horizontal es β = 60º. La velocidad inicial v del proyectil es 21 ms-1. Encuentra la distancia desde el cañón hasta el punto en el que cae el proyectil. Paso a paso, por favor. Gracias.
Establece un sistema de referencia con origen de coordenadas en la ubicación del cañón, con eje OX horizontal con dirección y sentido positivo acordes al desplazamiento del proyectil, con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba, y con instante inicial: tᵢ = 0 correspondiente al disparo. Luego, vamos con un dearrollo por pasos.
1°)
Tienes el ángulo de inclinación de la colina: α = 30°, a continuación planteas la expresión de su pendiente, y queda:
m = tanα = tan(30°) = √(3)/3,
ahora planteas la ecuación explícita de la recta, que pasa por el origen de coordenadas y tiene esta pendiente, y queda:
y = (√(3)/3)*x (1),
y observa que esta ecuación representa a todos los puntos que se encuentran en la pendiente de la colina.
2°)
Para el proyectil, planteas las ecuaciones de posición de Tiro Oblicuo (o Movimiento Parabólico), y queda:
x = vᵢ*cosβ*t,
y = vᵢ*senβ*t + (1/2)*a*t²,
a continuación reemplazas datos iniciales: vᵢ = 21 m/s, β = 60°, a = -g = -10 m/s², y queda:
x = 21*cos(60°)*t,
y = 21*sen(60°)*t + (1/2)*(-10)*t²,
aquí resuelves coeficientes en todos los términos, en ambas ecuaciones, y queda:
x = (21/2)*t (2a),
y = (21*√(3)/2)*t - 5*t² (2b).
3°)
Planteas la condición de llegada del proyectil a un punto que se encuentra en la pendiente de la colina, por lo que sustituyes las expresiones señaladas (2b) (2a) en la ecuación señalada (1), y queda:
(21*√(3)/2)*t - 5*t² = (√(3)/3)*(21/2)*t,
ahora resuelves el coeficiente en el segundo miembro, y queda:
(21*√(3)/2)*t - 5*t² = (7*√(3)/2)*t,
a continuación restas (7*√(3)/2)*t en ambos miembros, y queda:
7*√(3)*t - 5*t² = 0,
aquí extraes factor común en el primer término, y queda:
t*(7*√(3) - 5*t) = 0,
y por anulación de una multiplicación, tienes dos opciones:
a)
t = 0,
que es el instante en el que se dispara el cañón,
b)
7*√(3) - 5*t = 0,
y de aquí despejas:
t = 7*√(3)/5 s ≅ 2,425 s,
que es el instante en el cual la bala alcanza un punto que se encuentra en la pendiente de la colina,
ahora reemplazas este último valor remarcado en las ecuaciones señaladas (2a) (2b), las resuelves, y queda:
x = (21/2)*7*√(3)/5 = 147*√(3)/10 m ≅ 25,461 m,
y = (21*√(3)/2)*7*√(3)/5 - 5*(7*√(3)/5)² = 441/10 - 147/5 = 147/10 m = 14,7 m,
que son las coordenadas del punto en el que el proyectil alcanza la pendiente de la colina, el cual queda expresado:
A(147*√(3)/10;147/10) m.
4°)
Planteas la expresión de la distancia entre el punto de lanzamiento: O(0;0) y el punto de impacto A, y queda:
d = √(147*√(3)/10 - 0)² + (147/10 - 0)²),
a continuación resuelves expresiones en ambos términos en el argumento en la raíz cuadrada, y queda:
d = √(64827/100 + 21609/100),
aquí resuelves la suma en el argumento en la raíz cuadrada, y queda:
d = √(21609/25),
a continuación resuelves en el segundo miembro, y queda:
d = 147/5 m = 29,4 m,
que es la expresión de la distancia que separa al punto de lanzamiento del punto de impacto de la bala en la pendiente de la colina.
Espero haberte ayudado.