Yaser
Se proyecta una partícula horizontalmente con una velocidad v desde la parte superior de un plano inclinado en un ángulo θ con la horizontal. ¿A qué distancia del punto de proyección chocará la partícula con el plano? Paso a paso, por favor. Gracias.
Establece un sistema de referencia con origen de coordenadas en el punto de lanzamiento de la partícula, con eje OX horizontal con dirección y sentido positivo acordes al desplazamiento de la misma con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba, y con instante inicial: tᵢ = 0 correspondiente al lanzamiento. Luego, vamos con un dearrollo por pasos.
1°)
Tienes el ángulo de inclinación de la rampa: α = -θ, a continuación planteas la expresión de su pendiente, y queda (recuerda que el lanzamiento se realiza desde el punto más alto de la rampa):
m = tan(-θ) = -tanθ,
ahora planteas la ecuación explícita de la recta, que pasa por el origen de coordenadas y tiene esta pendiente, y queda:
y = -tanθ*x (1),
y observa que esta ecuación representa a todos los puntos que se encuentran en la pendiente de la rampa.
2°)
Para la partícula, planteas las ecuaciones de posición de Tiro Oblicuo (o Movimiento Parabólico), y queda:
x = vᵢ*cosβ*t,
y = vᵢ*senβ*t + (1/2)*a*t²,
a continuación reemplazas datos iniciales (recuerda que la partícula es lanzada con dirección horizontal):
β = 0°, a = -g = -10 m/s²,
y queda:
x = 21*cos(0°)*t,
y = 21*sen(0°)*t + (1/2)*(-10)*t²,
aquí resuelves coeficientes en todos los términos en ambas ecuaciones, cancelas el término nulo en la segunda ecuación, y queda:
x = 21*t (2a),
y = -5*t² (2b).
3°)
Planteas la condición de llegada de la partícula a un punto que se encuentra en la rampa, por lo que sustituyes las expresiones señaladas (2b) (2a) en la ecuación señalada (1), y queda:
-5*t² = -tanθ*21*t,
ahora resuelves el coeficiente en el segundo miembro, y queda:
-5*t² = -21*tanθ*t,
a continuación sumas 21*tanθ*t en ambos miembros, y queda:
-5*t² + 21*tanθ*t = 0,
aquí extraes factor común en el primer término, y queda:
t*(-5*t + 21*tanθ) = 0,
y por anulación de una multiplicación, tienes dos opciones:
a)
t = 0,
que es el instante en el que se lanza la partícula,
b)
-5*t + 21*tanθ = 0,
y de aquí despejas:
t = (21/5)*tanθ s,
que es la expresión del instante en el cual la partícula alcanza un punto que se encuentra sobre la rampa,
ahora sustituyes esta última expresión remarcada en las ecuaciones señaladas (2a) (2b), las resuelves, y queda:
x = 21*(21/5)*tanθ = (441/5)*tanθ,
y = -5*((21/5)*tanθ)² = -(441/5)*tan²θ,
que son las coordenadas del punto en el que el proyectil alcanza la pendiente de la colina, el cual queda expresado:
A((441/5)*tanθ;-(441/5)*tan²θ) m.
4°)
Planteas la expresión de la distancia entre el punto de lanzamiento: O(0;0) y el punto de impacto A, y queda:
d = √((441/5)*tanθ - 0)² + (-(441/5)*tan²θ - 0)²),
a continuación resuelves expresiones en ambos términos en el argumento en la raíz cuadrada, y queda:
d = √((194481/25)*tan²θ + (194481/25)*tan⁴θ),
aquí extraes factores comunes en el argumento en la raíz cuadrada, y queda:
d = √((194481/25)*tan²θ*(1 + tan²θ)),
ahora aplicas la identidad trigonométrica del cuadrado del coseno en función del cuadrado de la tangente, en el último factor en el argumento en la raíz cuadrada, y queda:
d = √((194481/25)*tan²θ*cos²θ),
a continuación distribuyes la raíz cuadrada entre todos los factores que tienes en su argumento, resuelves el coeficiente, y queda:
d = (441/5)*tanθ*cosθ,
aquí resuelves la multiplicación de factores trignométricos (recuerda: tanθ = senθ/cosθ), y queda:
d = (441/5)*senθ,
que es la expresión de la distancia que separa al punto de lanzamiento de la parícula de su punto de impacto en la rampa.
Espero haberte ayudado.