Yaser
Una partícula es proyectada sobre un triángulo desde un extremo de una base horizontal y, rozando el vértice, cae en el otro extremo de la base. Si α y β son los ángulos de la base y θ el ángulo de proyección, demuestra que tan θ = tan α + tan β. Paso a paso, por favor. Gracias.
Observa nuestra figura, en la que tienes establecido un sistema de referencia, y tienes representado el triángulo, con todos los datos que tienes en tu enunciado, más algunas referencias adicionales. Luego, vamos con un desarrollo por pasos, y observa que consideramos que la partícula es lanzada desde el origen de coordenadas.
1°)
Observa el triángulo rectángulo sombreado con amarillo, cuya base tiene longitud: b - 0 = d, y cuya altura tiene longitud h, por lo que planteas la expresión de la tangente del ángulo agudo indicado en este triángulo rectángulo, y queda:
tanα = h/d,
y de aquí despejas:
h = d*tanα (1).
2°)
Observa el triángulo rectángulo sombreado con lila, cuya base tiene longitud: b - d, y cuya altura tiene longitud h, por lo que planteas la expresión de la tangente del ángulo agudo indicado en este triángulo rectángulo, y queda:
tanβ = h/(b - d),
a continuación multiplicas en ambos miembros por (b - d), y queda:
(b - d)*tanβ = h,
aquí sustituyes la expresión señalada (1) en el segundo miembro, y queda:
(b - d)*tanβ = d*tanα,
ahora distribuyes en el prmier miembro, y queda:
b*tanβ - d*tanβ = d*tanα,
a continuación sumas d*tanβ en ambos miembros, y queda:
b*tanβ = d*tanα + d*tanβ,
aquí divides por tanβ en todos los términos, y queda:
b = d*tanα/tanβ + d,
ahora extraes factor común en el segundo miembro, y queda:
b = d*(tanα/tanβ + 1) (2).
3°)
Planteas la ecuación de la trayectoria de Tiro Oblicuo (o Movimiento Parabólico), y queda (recuerda que el punto de lanzamiento es el origen de coordenadas):
y = x*tanθ - (1/2)*(g/(vᵢ²*cos²θ))*x² (3).
4°)
Como tienes en tu enunciado que el vértice "superior" A(d;h) pertenece a la trayectoria de la partícula, sustituyes las expresiones de sus coordenadas en la ecuación señalada (3), y queda:
h = d*tanθ - (1/2)*(g/(vᵢ²*cos²θ))*d²,
a continuación restas d*tanθ en ambos miembros, y queda:
h - d*tanθ = -(1/2)*(g/(vᵢ²*cos²θ))*d² (4).
5°)
Como tienes en tu enunciado que el vértice B(b;0) también pertenece a la trayectoria de la partícula, sustituyes las expresiones de sus coordenadas en la ecuación señalada (3), y queda:
0 = b*tanθ - (1/2)*(g/(vᵢ²*cos²θ))*b²,
a continuación restas d*tanθ en ambos miembros, y queda:
-b*tanθ = -(1/2)*(g/(vᵢ²*cos²θ))*b²,
aquí multiplicas por -1 en ambos miembros, y queda:
b*tanθ = (1/2)*(g/(vᵢ²*cos²θ))*b² (5).
6°)
Divides miembro a miembro la ecuación señalada (4) entre la ecuación señalada (5), y queda la ecuación (presta atención al signo en el segundo miembro, y observa que simplificamos su expresión):
(h - d*tanθ)/(b*tanθ) = -d²/b²,
a continuación multiplicas por b² y por tanθ en ambos miembros, y queda:
b*(h - d*tanθ) = -d²*tanθ,
aquí sustituyes la expresión señalada (1) en el primer término en el agrupamiento en el primer miembro, y queda:
b*(d*tanα - d*tanθ) = -d²*tanθ,
ahora extraes factor común en el agrupamiento, y queda:
b*d*(tanα - tanθ) = -d²*tanθ,
a continuación divides por d en todos los términos, y queda:
b*(tanα - tanθ) = -d*tanθ (6).
7°)
Sustituyes la expresión señalada (2) en el primer factor en el primer miembro en la ecuación señalada (6), y queda:
d*(tanα/tanβ + 1)*(tanα - tanθ) = -d*tanθ,
aquí divides por d en ambos miembros, y queda:
(tanα/tanβ + 1)*(tanα - tanθ) = -tanθ,
ahora distribuyes en el primer miembro, y queda:
tan²α/tanβ - tanα*tanθ/tanβ + tanα - tanθ = -tanθ,
a continuación sumas tanθ en ambos miembros, y queda:
tan²α/tanβ - tanα*tanθ/tanβ + tanα = 0,
aquí divides por tanα y multiplicas por tanβ en todos los términos, y queda:
tanα - tanθ + tanβ = 0,
ahora sumas tanθ en ambos miembros, y a continuación despejas:
tanθ = tanα + tanβ.
Espero haberte ayudado.