Yaser
Paso a paso, por favor. Gracias.
Observa nuestra figura, en la que tienes establecido un sistema de referencia. Luego, vamos con un desarrollo por pasos.
1°)
Tienes la recta que une los puntos O y A, que representa a la rampa, y cuyo ángulo de inclinación con respecto al semieje OX positivo mide 30°, por lo que su pendiente es: m = tan(30°), y su ecuación cartesiana explícita queda.
y = tan(30°)*x,
a continuación reemplazas el valor exacto de la expresión trigonométrica, y queda:
y = (√(3)/3)*x (1).
2°)
Planteas la ecuación de la trayectoria de Tiro Oblicuo, y queda (aquí prestra atención a la medida del ángulo de lanzamiento de la partícula):
y = tanθ*x - (1/2)*(g/(|u|²*cos²θ)*x²,
a continuación reemplazas datos:
θ = 30° + 30° = 60°, g = 10 m/s², |u| = 10 m/s,
y queda:
y = tan(60°)*x - (1/2)*(10/(10²*cos²(60°)))*x²,
aquí reemplazas los valores exactos de las expresiones trigonométricas, y queda:
y = √(3)*x - (1/5)*x² (2).
3°)
Planteas la condición de impacto de la partícula en la rampa, por lo que igualas las expresiones señaladas (1) (2), y queda:
(√(3)/3)*x = √(3)*x - (1/5)*x²,
a continuación multiplicas por 15 en todos los términos, y queda:
5*√(3)*x = 15*√(3)*x - 3*x²,
aquí sumas 3*x² y restas 15*√(3)*x en ambos miembros, y queda:
3*x² - 10*√(3)*x = 0,
ahora extraes factor común, y queda:
x*(3*x - 10*√(3)) = 0,
y por anulación de una multiplicación tienes dos opciones:
a)
x = 0,
que al reemplazar y resolver en la ecuación señalada (1) queda:
y = (√(3)/3)*0 = 0,
que son las coordenadas del punto: O(0;0), que es el punto de lanzamiento de la partícula,
b)
3*x - 10*√(3) = 0,
y de aquí despejas:
x = 10*√(3)/3 m ≅ 5,774 m,
y al reemplazar este valor y resolver en la ecuación señalada (1) queda:
y = (√(3)/3)*10*√(3)/3 = 10/3 m ≅ 3,333 m,
que son las coordenadas del punto A(10*√(3)/3;10/3) m, que es el punto de impacto de la partícula en la rampa.
3°)
Planteas las ecuaciones tiempo-posición de Tiro Oblicuo, y queda:
x = |u|*cosθ*t,
y = |u|*senθ*t - (1/2)*g*t²,
a continuación reemplazas datos iniciales: |u| = 10 m/s, θ = 60°, g = 10 m/s², y queda:
x = 10*cos(60°)*t,
y = 10*sen(60°)*t - (1/2)*10*t²,
aquí reemplazas los valores exactos de las expresiones trigonométricas, y queda:
x = 10*(1/2)*t,
y = 10*(√(3)/2)*t - (1/2)*10*t²,
ahora resuelves coeficientes en todos los términos en los segundos miembros, y queda:
x = 5*t,
y = 5*√(3)*t - 5*t²,
a continuación reemplazas los valores de las coordenadas del punto de impacto A en los primeros miembros, y queda:
10*√(3)/3 = 5*t (3a)
10/3 = 5*√(3)*t - 5*t² (3b),
ahora divides por 5 en ambos miembros en la ecuación señalada (3a), y a continuación despejas:
tA = 2*√(3)/3 s ≅ 1,155 s,
que es el instante en el que la partícula impacta sobre la rampa en el punto A.
4°)
Planteas las ecuaciones tiempo-velocidad de Tiro Oblicuo, y queda:
vx = |u|*cosθ,
vy = |u|*senθ - g*t,
a continuación reemplazas valores: |u| = 10 m/s, θ = 60°, g = 10 m/s², y queda:
vx = 10*cos(60°),
vy = 10*sen(60°) - 10*t,
aquí reemplazas los valores exactos de las expresiones trigonométricas, y queda:
vx = 10*(1/2),
vy = 10*√(3)/2 - 10*t,
ahora resuelves coeficientes, y queda:
vx = 5,
vy = 5*√(3) - 10*t,
a continuación reemplazas el valor del instante de impacto en la segunda ecuación, resuelves, y queda:
vAx = 5 m/s,
vAy = 5*√(3) - 10*2*√(3)/3 = 5*√(3) - 20*√(3)/3 = -5*√(3)/3 m/s,
que son los valores de las componentes de la velocidad de la partícula cuando impacta en el punto A, cuya expresión vectorial queda:
vA = < 5 ; -5*√(3)/3 > m/s,
ahora planteas la expresión de la tangente del ángulo de inclinación de esta velocidad, con respecto al semieje OX positivo, y queda:
tanφ = vAy/vAx,
a continuación reemplazas los valores de las componentes de la velocidad de impacto, resuelves, y queda:
tanφ = (-5*√(3)/3)/5 = -√(3)/3,
aquí compones con la función inversa de la tangente, y queda:
φ = -30°,
que es la medida del ángulo que determina la velocidad de impacto con el semieje OX positivo, y cuyo signo negativo te indica que esta velocidad tiene dirección inclinada por debajo de dicho semieje, como te mostramos en nuestra figura adicional, en la que tienes representrada a la velocida de impacto de la partícula en el punto A, en la que hemos trazado la recta N que es perpendicular a la rampa, y una semirrecta horizontal desde el punto A, en la que puedes observar:
- que la velocidad determina un ángulo de 30° "por encima" de la semirrecta perpendicular a la rampa inferior.
Espero haberte ayudado.