Yaser
Paso a paso, por favor. Gracias.
Observa nuestra figura, que consiste en la tuya más un sistema de referencia usual, con origen de coordenadas en el punto A, y observa además que hemos renombrado con "d" a la distancia que separa a los puntos A y B, a fin de evitar confusiones. Luego, vamos con un desarrollo por pasos.
1°)
Para la primera partícula, lanzada desde el origen de coordenadas, planteas las ecuaciones tiempo-posición de Tiro Oblicuo, y queda:
x = vᵢ*cosθ*t,
y = vᵢ*senθ*t - (1/2)*g*t²,
a continuación reemplazas datos iniciales:
vᵢ = 20 m/s,
g = 10 m/s²,
y queda:
x = 20*cosθ*t,
y = 20*senθ*t - (1/2)*10*t²,
aquí resuelves el coeficiente en el último término en la segunda ecuación, y queda:
x = 20*cosθ*t,
y = 20*senθ*t - 5*t²,
ahora reemplazas el valor del instante de encuentro: t = 1/2 s en ambas ecuaciones, y queda:
x = 20*cosθ*(1/2),
y = 20*senθ*(1/2) - 5*(1/2)²,
a continuación resuelves coeficientes en todos los términos en los segundos miembros, y queda:
x = 10*cosθ (1a),
y = 10*senθ - 5/4 (1b).
2°)
Para la segunda partícula, observa que se desplaza con dirección vertical, planteas las ecuaciones de su posición (observa que su componente horizontal es constante, y que se desplaza con Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado), y queda:
x = d,
y = vᵢ*t - (1/2)*g*t²,
a continuación reemplazas datos iniciales:
vᵢ = 10 m/s,
g = 10 m/s²,
y queda:
x = d
y = 10*t - (1/2)*10*t²,
aquí resuelves el coeficiente en el último término en la segunda ecuación, y queda:
x = d,
y = 10*t - 5*t²,
ahora reemplazas el valor del instante de encuentro: t = 1/2 s en la segunda ecuación, y queda:
x = d,
y = 10*(1/2) - 5*(1/2)²,
a continuación resuelves coeficientes, en ambos términos en la segunda ecuación, y queda:
x = d (2a),
y = 5 - 5/4 = 15/4 m (2b).
3°)
Planteas la condición de encuentro de las dos partículas, por lo que igualas las expresiones señaladas (1a) (2a), igualas las expresiones señaladas (1b) (2b), y queda el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
10*cosθ = d (3)
10*senθ - 5/4 = 15/4,
a continuación sumas 5/4 en ambos miembros en la segunda ecuación, y queda:
10*senθ = 5,
aquí divides por 10 en ambos miembros, y queda:
senθ = 1/2,
ahora compones con la función inversa del seno (recuerda que las medidas de los ángulos de lanzamiento corresponden al primer cuadrante), y queda:
θ = 30°,
que es la respuesta al inciso (a),
a continuación reemplazas este último valor remarcado en la ecuacion señalada (3), y queda:
10*cos(30°) = d,
aquí reemplazas el valor exacto de la expresión trigonométrica, y queda:
10*√(3)/2 = d,
ahora resuelves en el primer miembro, y a continuación despejas:
d = 5*√(3) m ≅ 8,660 m,
que es la respuesta al inciso (b).
Espero haberte ayudado.