Yaser
Paso a paso, por favor. Gracias.
Observa nuestra figura, en la que tienes representada la situación en estudio, en la que indicamos con C al centro del hemisferio, y en la que tienes establecido un sistema de referencia con origen de coordenadas en el punto en el que se encuentra la partícul, con eje OX tangencial al hemisferio con sentido positivo hacia la derecha, y con eje OY radial, con sentido positivo hacia el centro del hemisferio.
Luego, vamos con un desarrollo por pasos:
1°)
Observa que sobre la partícula están aplicadas tres fuerzas, de las que indicamos sus módulos, direcciones y sentidos:
- Peso: P = M*g, vertical, hacia abajo,
- Acción normal del hemisferio: N, radial, hacia el centro de la semiesfera,
- Rozamiento estático máximo del hemisferio: fr = α*N, tangencial, hacia la derecha,
a continuación aplicas Primera Ley de Newton, y quedan las ecuaciones (observa que sustituimos las expresiones de los módulos de las fuerzas):
α*N - M*g*senθ = 0,
N - M*g*cosθ = 0, y de aquí despejas: N = M*g*cosθ,
aquí sustituyes esta últma expresión en el primer término en la primera ecuación, y queda:
α*M*g*cosθ - M*g*senθ = 0,
ahora divides por M y por gen todos los términos, reemplazas el valor del coeficiente estático de rozamiento en el primer término, y queda:
(1/√(3))*cosθ - senθ = 0,
a continuación multiplicas por √(3) en todos los términos, y queda:
cosθ - √(3)*senθ = 0,
aquí restas cosθ en ambos miembros, y queda:
-√(3)*senθ = -cosθ,
ahora divides por cosθ y por -√(3) en ambos miembros, y queda:
senθ/cosθ = 1/√(3),
a continuación aplicas la identidad trigonométrica elemental para la tangente en el primer miembro, y queda:
tanθ = 1/√(3),
aquí compones en ambos miembros con la función inversa de la tangente, y queda:
θ = 30° (1).
2°)
Observa nuestra nueva figura, que consiste en la anterior, con las respresenatacionas del centro del hemisferio (C), del punto en el que se encuetra la particula (O), del radio del hemisferior (R), del punto más bajo del hemisferio (A), y del ángulo correspondiente al arco AO (θ).
Luego, observa qu en el segmeno CA, cuya longitud es el radio del hemisferio, puedes plantear la ecuación:
s + h = R,
y de aquí despejas:
h = R - s (2).
3°)
Observa que en el triángulo rectángulo sombreado con amarillo, puedes plantear la ecuación trigonométrica:
cosθ = s/R,
a continuación reemplazas el valor del ángulo señalado (1), y queda:
cos(30°) = s/R,
aquí reemplazas el valor exacto de la expresión trigonométrica, y queda:
(√(3)/2) = s/R,
y de aquí despejas:
s = (√(3)/2)*R (3).
4°)
Sustituyes la expresión señalada (3) en el último término en la ecuación señalada (2), y queda:
h = R - (√(3)/2)*R,
ahora extraes factor común en el segundo miembro, y queda:
h = (1 - √(3)/2)*R,
que es la expresión de la altura de la partícula con respecto al nivel del punto más bajo del hemisfierio, en función del radio de este último, por lo que puedes concluir que la opción (b) es la respuesta correcta.
Espero haberte ayudado.