Yaser
Paso a paso, por favor. Gracias.
Vamos con un desarrollo por pasos, y observa que en tu enunciado ya tienes indicado el sistema de referencia, por lo que las fuerzas horizontales tendrán segunda componente igual a cero, las fuerzas verticales tendrán primera componente igual a cero, y las fuerzas con dirección inclinada tendrán a sus dos componentes distintas de cero.
1°)
Para el bloque apoyado sobre la rampa, observa que sobre él están aplicadas tres fuerzas:
Peso, con dirección vertical y sentido hacia abajo, cuyo módulo tiene la expresión: |P| = 2*M*g, y cuya expresión vectorial es:
P = < 0 ; -|P| > = < 0 ; -2*M*g > (1a),
Tensión de la cuerda, con dirección inclinada hacia la derecha y hacia arriba, y que determina un ángulo cuya medida es 30° con el semieje OX positivo, cuyo módulo indicamos con |T|, y cuya expresión vectorial es:
T = < |T|*cos(30°) ; |T|*sen(30°) > (1b),
Acción normal de la rampa, con dirección inclinada hacia la izquierda y hacia arriba, y que determina un ángulo cuya medida es 30°con el semieje OY positivo, cuyo módulo indicamos con |N|, y cuya expresión vectorial es:
N = < -|N|*sen(30°) ; |N|*cos(30°) > (1c),
aquí planteas la expresión vectorial de la aceleración "a" de este bloque (observa que este bloque desliza sobre la rampa, hacia la izquierda y hacia abajo con inclinación (30°) con respecto a la horizontal, y que indicamos con |a| al módulo de su aceleración), y queda:
a = < -|a|*cos(30°) ; -|a|*sen(30°) > (1d),
a continuación aplicas Segunda Ley de Newton, y queda la ecuación vectorial (observa que indicamos con "a" al vector aceleración):
P + T + N = 2*M*a,
aquí sustituyes las expresiones vectoriales señaladas (1a) (1b) (1c), y la expresión vectorial de la aceleración, y queda:
< 0 ; -2*M*g > + < |T|*cos(30°) ; |T|*sen(30°) > + < -|N|*sen(30°) ; |N|*cos(30°) > = 2*M*< -|a|*cos(30°) ; -|a|*sen(30°) >,
ahora resuelves la suma vectorial que tienes en el primer miembro, y queda:
< |T|*cos(30°) - |N|*sen(30°) ; -2*M*g + |T|*sen(30°) + |N|*cos(30°) > = 2*M*< -|a|*cos(30°) ; -|a|*sen(30°) >,
a continuación resuelves la multiplicación en el segundo miembro, y queda:
< |T|*cos(30°) - |N|*sen(30°) ; -2*M*g + |T|*sen(30°) + |N|*cos(30°) > = < -2*M*|a|*cos(30°) ; -2*M*|a|*sen(30°) >,
aquí, por igualdad de expresiones vectoriales, igualas componente a componente, y quedan las ecuaciones.
|T|*cos(30°) - |N|*sen(30°) = -2*M*|a|*cos(30°),
-2*M*g + |T|*sen(30°) + |N|*cos(30°) = -2*M*|a|*sen(30°),
ahora reemplazas los valores exactos de las expresiones trigonométricas, y queda:
|T|*√(3)/2 - |N|*(1/2) = -2*M*|a|*√(3)/2,
-2*M*g + |T|*(1/2) + |N|*√(3)/2 = -2*M*|a|*(1/2),
a continuación multiplicas por 2 en todos los términos en ambas ecuaciones, resuelves coeficientes en todos sus términos, y queda:
√(3)*|T| - |N| = -2*√(3)*M*|a|, y de aquí despejas: |N| = √(3)*|T| + 2*√(3)*M*|a| (1a),
-4*M*g + |T| + √(3)*|N| = -2*M*|a|,
aquí sustituyes la expresión señalada (1a) en el tercer término en la segunda ecuación, y queda:
-4*M*g + |T| + √(3)*(√(3)*|T| + 2*√(3)*M*|a|) = -2*M*|a|,
ahora distribuyes el factor común en el tercer término, resuelves coeficientes, y queda:
-4*M*g + |T| + 3*|T| + 6*M*|a| = -2*M*|a|,
a continuación restas 6*|M|*|a| en ambos miembros, y queda:
-4*M*g + |T| + 3*|T| = -2*M*|a| - 6*M*|a|,
aquí reduces términos semejantes en ambos miembros, y queda:
-4*M*g + 4*|T| = -8*M*|a|,
ahora sumas 4*M*g en ambos miembros, y queda:
4*|T| = -8*M*|a| + 4*M*g,
a continuación divides por 4 en todos los términos, y queda:
|T| = -2*M*|a| + M*g (1b).
2°)
Observa que tienes en tu enunciado que las poleas son ideales (no tienen masa), por lo que tienes también que no afectan ala cuerda y, por lo tanto, tienes que el módulo de la tensión de la cuerda es igual en todos sus puntos.
3°)
Para el bloque apoyado sobre el suelo, observa que sobre él están aplicadas tres fuerzas:
Peso, con dirección vertical y sentido hacia abajo, cuyo módulo tiene la expresión: |Ps| = Ms*g, y cuya expresión vectorial es:
Ps = < 0 ; -|Ps| > = < 0 ; -M*g > (3a),
Tensión de la cuerda, con dirección horizontal y sentido hacia la izquierda, cuyo módulo indicamos con |T|, y cuya expresión vectorial es:
T = < -|T| ; 0 > (3b),
Acción normal del suelo, con dirección vertical y sentido hacia arriba, cuyo módulo indicamos con |Ns|, y cuya expresión vectorial es:
Ns = < 0 ; |Ns| > (3c),
aquí planteas la expresión vectorial de la aceleración "a" de este bloque (observa que este bloque desliza sobre el suelo, hacia la izquierda, y que indicamos con |a| al módulo de su aceleración), y queda:
a = < -|a| ; 0 > (3d),
a continuación aplicas Segunda Ley de Newton, y queda la ecuación vectorial (observa que indicamos con "a" al vector aceleración):
P + T + N = M*a,
aquí sustituyes las expresiones vectoriales señaladas (3a) (3b) (3c) (3d), (observa que la cuerda no se estira ni se contrae, por lo que tienes que transmite la aceleración de bloque a bloque), y queda:
< 0 ; -M*g > + < -|T| ; 0 > + < 0 ; |Ns| > = M*< -|a| ; 0 >,
ahora resuelves la suma vectorial que tienes en el primer miembro, y queda:
< -|T| ; -M*g + |Ns| > = M*< -|a| ; 0 >,
a continuación resuelves la multiplicación en el segundo miembro, y queda:
< -|T| ; -M*g + |Ns| > = < -M*|a| ; 0 >,
aquí, por igualdad de expresiones vectoriales, igualas componente a componente, y quedan las ecuaciones.
-|T| = -M*|a|, y de aquí despejas: |T| = M*|a| (3e),
-M*g + |Ns| = 0, y de aquí despejas: |Ns| = M*g (3f).
4°)
Sustituyes la expresión señalada (3e) en el primer miembro en la ecuación señalada (1b), y queda:
M*|a|= -2*M*|a| + M*g,
ahora divides por M en todos los términos, y queda:
|a| = -2*|a| + g,
ahora sumas 2*|a| en ambos miembros, y queda:
3*|a| = g,
a continuación divides por 3 en ambos miembros, y queda:
|a| = g/3 (4a),
que es la expresión del módulo de las aceleraciones de los bloques,
ahorasustituyes la expresión señalada (4a) en la ecuación señalada (3e), y queda:
|T| = M*g/3 (4b),
que es la expresión del módulo de la tensión de la cuerda.
5°)
Observa que sobre la polea señalada P, puedes considerar que están aplicadas tres fuerzas (recuerda que esta polea es ideal, por lo que tienes que su masa es igual a cero y que su peso es nulo):
- Tensión del tramo izquierdo de cuerda, con dirección inclinada hacia la izquierda y hacia abajo, que determina un ángulo de 30° con la horizontal, y cuya expresión vectorial queda:
Ti = < -|T|*cos(30°) ; -|T|*sen(30°) >,
aquí reemplazas los valores exactos de las expresiones trigonométricas, y queda:
Ti = < -|T|*√(3)/2 ; -|T|*1/2 >,
ahora sustituyes la expresión del módulo de la tensión de la cuerda señalada (4b), y queda:
Ti = < (-M*g/3)*√(3)/2 ; -(M*g/3)*1/2 >
resuelves expresiones en ambas componentes, y queda:
Ti = < -√(3)*M*g/6 ; -M*g/6 > (5a),
- Tensión del tramo dercho de cuerda, con dirección vertical y sentido hacia abajo, y cuya expresión vectorial queda:
Td = < 0 ; -|T| >,
aquí sustituyes la expresión del módulo de la tensión de la cuerda señalada (4b), y queda:
Td = < 0 ; -M*g/3 > (5b),
- Acción de la abrazadera, cuya expresión vectorial designamos con A, a determinar,
a continuación aplicas Primera Ley de Newton (observa que esta polea no se desplaza), y queda la ecuación vectorial (observa que indicamos con "o" al vector nulo):
Ti + Td + A = o,
ahora sustituyes las expresiones señalada (5a) (5b), sustituyes la expresión del vector nulo, y queda:
< -√(3)*M*g/6 ; -M*g/6 > + < 0 ; -M*g/3 > + A = < 0 ; 0 >,
aquí resuelves la suma vectorial con los dos primeros términos, y queda:
< -√(3)*M*g/6 + 0 ; -M*g/6 - M*g/3 > + A = < 0 ; 0 >,
a continuación resuelves expresiones en las componentes en el primer término, y queda:
< -√(3)*M*g/6 ; -M*g/2 > + A = < 0 ; 0 >,
ahora restas < -√(3)*M*g/6 ; -M*g/2 > en ambos miembros, y queda:
A = < 0 ; 0 > - < -√(3)*M*g/6 ; -M*g/2 >,
aquí cancelas el término nulo en el segundo miembro, distribuyes el signo en el último término, y queda:
A = < √(3)*M*g/6 ; M*g/2 >,
a continuación, a fin de obtener un denominador común en las expresiones de las componentes, multiplicas y divides por 3 en la segunda componente en el segundo miembro, y queda:
A = < √(3)*M*g/6 ; 3*M*g/6 >,
aquí extraes el facor escalar "M*g/6" en la expresió vectorial, y queda:
A = (M*g/6)*< √(3) ; 3 >,
y puedes concluir que la opción (b) es la respuesta correcta.
Ahora, a seguir todo este desarrollo con lápiz, papel y muchísima paciencia.
Espero haberte ayudado.