Yaser
Paso a paso, por favor. Gracias.
Vamos con un desarrollo por pasos, y observa que indicamos con subíndice "1" a todos los datos e incógnitas que corresponden a la Bola, y con subíndice "2" a los que corresponden a la barra, y observa además que la bola es más pesada que la barra, por lo que tienes que la Bola, la polea móvil de la derecha y la barra se desplazan con dirección vertical. y puedes considerar:
- que la Bola se desplaza con sentido hacia arriba,
- que la polea móvil de la derecha se desplaza con sentido hacia abajo,
- que la barra se desplaza con sentido hacia abajo,
y observa que indicamos con "M" a la masa de la barra y, de acuerdo con tu enunciado, indicamos con "η*M" a la masa de la Bola, y ten en cuenta que puedes considerar que la masa de la polea móvil es igual a cero.
1°)
Para la Bola, establece un sistema de referencia con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba, y observa que sobre este móvil están aplicadas dos fuerzas, de las que indicamos sus módulos y sentidos:
- Peso: P₁ = η*M*g, hacia abajo,
- Tensión de la cuerda "larga": TL, hacia arriba,
a continuación aplicas Segunda Ley de Newton, y queda la ecuación (observa que sustituimos las expresiones de los módulos de las fuerzas):
TL - η*M*g = η*M*a₁,
y de aquí despejas:
TL = η*M*g + η*M*a₁ (1).
2°)
Para la polea móvil, establece un sistema de referencia con eje OY vertical con sentido positivo hacia abajo, y observa que sobre esta polea están aplicadas tres fuerzas, de las que indicamos sus módulos y sentidos (recuerda que esta polea es ideal, por lo que puedes considerar que el módulo de su peso es igual a cero, al igual que su masa):
- Tensión de la cuerda "larga": TL, hacia arriba,
- Tensión del tramo izquierdo de la cuerda "corta": TC, hacia abajo,
- Tensión del tramo derecho de la cuerda "corta": TC, hacia abajo,
a continuación aplicas Segunda Ley de Newton, y queda la ecuación (observa que sustituimos las expresiones de los módulos de las fuerzas):
TC + TC - TL = 0*ap,
ahora reduces términos semejantes, resuelves en el segundo miembro, y queda:
2*TC - TL = 0,
y de aquí despejas:
TL = 2*TC (2).
3°)
Para la barra, establece un sistema de referencia con eje OY vertical con sentido positivo hacia abajo, y observa que sobre este móvil están aplicadas dos fuerzas, de las que indicamos sus módulos y sentidos:
- Peso: P₂ = M*g, hacia abajo,
- Tensión de la cuerda "corta": TC, hacia arriba,
a continuación aplicas Segunda Ley de Newton, y queda la ecuación (observa que sustituimos las expresiones de los módulos de las fuerzas):
M*g - TC = M*a₂,
y de aquí despejas:
TC = M*g - M*a₂ (3).
4°)
A fin de determinar la relación entre los módulos de las aceleraciones de la Bola y de la barra, observa que si la Bola se desplaza una distancia "D" hacia arriba, entonces tienes que la polea móvil también se desplaza una distancia "D" hacia abajo, lo que implicaría que también cada tramo de cuerda corta se desplace una distancia "D" hacia abajo pero, como el tramo derecho está rígidamente unido al suelo, entonces tienes que todo el desplazamiento de la cuerda "corta" pasa a su tramo izquierdo, el cuál tienes que se desplaza una distancia "2*D" hacia abajo, y observa entonces que la barra también se desplaza una distancia "2*D" hacia abajo,
a continuación oberva que tienes que el módulo del desplazamiento de la barra "2*D" es igual al doble del desplazamiento de la lBola "D", y ten en cuenta que esta relación también se verifica para sus rapideces y para los módulos de sus acelerciones, por lo que puedes plantear la ecuación:
a₂ = 2*a₁ (4).
5°)
Sustituyes las expresiones señaladas (1) (3) en la ecuación señalada (2), y queda:
η*M*g + η*M*a₁ = 2*(M*g - M*a₂),
a continuación distribuyes en el segundo miembro, y queda:
η*M*g + η*M*a₁ = 2*M*g - M*a₂,
aquí divides por M en todos los términos, y queda:
η*g + η*a₁ = 2*g - a₂,
y de aquí despejas:
a₂ = 2*g - η*g - η*a₁,
a continuación sustituyes esta última expresión en el primer miembro en la ecuación señalada (4), y queda:
2*g - η*g - η*a₁ = 2*a₁,
aquí sumas η*a₁ en ambos miembros, y queda:
2*g - η*g = η*a₁ + 2*a₁,
ahora extraes factor común en ambos miembros, y queda:
(2 - η)*g = (η + 2)*a₁,
y a continuación despejas:
a₁ = (2 - η)*g/(η + 2) (5a),
aquí sustituyes esta última expresión en el segundo miembro en la ecuación señalada (4), y queda:
a₂ = 2*(2 - η)*g/(η + 2) (5b).
6°)
Una vez que tienes establecidas las expresiones de los módulos de laa aceleraciones, establece un sistema de referencia con eje OY vertical, con sentido positivo hacia arriba, con origen de coordenadas a nivel de la posición del la Bola que se muestra en tu figura, y con instante inicial: tᵢ = 0 correspondiente al momento en el que el sistema Bola-polea móvil-barra es liberado, a continuación planteas la ecuación tiempo-posición de Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado, y queda:
y = yᵢ + vᵢ*t + (1/2)*a*t² (*),
a continuación observa que, para la Bola (que se desplaza hacia arriba), tienes los datos iniciales:
yᵢ = 0 (posición inicial), vᵢ = 0 (velocidad inicial), a = a₁ (aceleración),
ahora sustituyes estas tres expresiones en la ecuación señalada (*), y queda:
yB = 0 + 0*t + (1/2)*a₁*t²,
aquí cancelas términos nulos, y queda:
yB = (1/2)*a₁*t² (6a),
a continuación observa que, para el extremos superior de la barraa (que se desplaza hacia abajo), tienes los datos iniciales:
yᵢ = L (posición inicial), vᵢ = 0 (velocidad inicial), a = -a₂ (aceleración),
ahora sustituyes estas tres expresiones en la ecuación señalada (*), y queda:
yS = L + 0*t + (1/2)*(-a₂)*t²,
aquí cancelas el término nulo, resuelves el signo en el último término, y queda:
yS = L - (1/2)*a₂*t² (6b).
7°)
Planteas la condición de "cruce" de la Bola con el extremo superior de la barra:
yB = yS,
a continuación sustituyes las expresiones señaladas (6a) (6b), y queda la ecuación:
(1/2)*a₁*t² = L - (1/2)*a₂*t²,
aquí multiplicas por 2 en todos los términos, y queda:
a₁*t² = 2*L - a₂*t²,
ahora sumas a₂*t² en ambos miembros, y queda:
a₁*t² + a₂*t² = 2*L,
a continuación sustituyes la expresión señalada (4) en el segundo término, y queda:
a₁*t² + 2*a₁*t² = 2*L,
aquí reduces términos semejantes, y queda:
3*a₁*t² = 2*L,
ahora sustituyes la expresión señalada (5a) en el primer miembro, y queda:
3*((2 - η)*g/(η + 2))*t² = 2*L,
a continuación multiplicas por (η + 2) en ambos miembros, y queda:
3*(2 - η)*g*t² = 2*(η + 2)*L,
aquí divides por "3*(2 - η)*g" en ambos miembros, y queda:
t² = 2*(η + 2)*L/(3*(2 - η)*g),
ahora extraes raíz cuadrada positiva en ambos miembros, y queda:
t = √(2*(η + 2)*L/(3*(2 - η)*g)),
que es la expresión del instante en el que la Bola y el extremo superior de la barra se encuentra en un mismo nivel, en función de los datos que tienes en tu enunciado.
Ahora, a seguir todo este desarrollo con mucha paciencia, papel y lápiz.
Espero haberte ayudado.