¿Alguna ayuda?

Vamos con una orientación, por medio de un desarrollo por pasos, y observa que las particulas se desplazan con Movimiento Circular Uniformemente Variado.

1°)

Para la partícula A, establece un sistema de referencia con eje OX horizontal con sentido positivo hacia la izquierda según tu figura, y con eje OY vertical con sentido hacia abajo, a contnuación observa que sobre esta partícula están aplicadas tres fuerzas, de las que indicamos sus módulos, direcciones y sentidos (observa que el semieje OX psitivo determina un ángulo cuya medida es 45° con la cuerda):

- Peso: P = M*g, vertical, hacia abajo,

- Acción normal del aro: N_A, vertical, hacia arriba,

- Tensión de la cuerda: T, inclinada hacia la izquierda y hacia abajo,

aquí aplicas Segunda Ley de Newton (observa que sustituimos las expresiones de los módulos de las fuerzas), y quedan las ecuaciones:

T*cos(45°) = M*a_T,

M*g + T*sen(45°) - N_A = M*a_cp.

a continuación considera la situación en estudio: las partículas son liberadas, y en el instante correspondiente todavía no han desarrollado velocidades, y por ende tampoco aceleraciones centrípetas, por lo que puedes considerar: a_cp = 0, y al reemplazar y resolver en el segundo miembro en la segunda ecuación, este sistema de ecuaciones queda:

T*cos(45°) = M*a_T (1a),

M*g + T*sen(45°) - N_A = 0, y de aquí despejas: N_A = M*g + T*sen(45°) (1b).

2°)

Para la partícula B, establece un sistema de referencia con eje OX horizontal con sentido positivo hacia la derecha según tu figura, y con eje OY vertical con sentido hacia abajo, a contnuación observa que sobre esta partícula están aplicadas tres fuerzas, de las que indicamos sus módulos, direcciones y sentidos (observa que el semieje OX psitivo determina un ángulo cuya medida es 45° con la cuerda):

 - Peso: P = M*g, vertical, hacia abajo,

- Acción normal del aro: N_B, horizontal, hacia la izquierda,

- Tensión de la cuerda: T, inclinada hacia la derecha y hacia arriba, 

aquí aplicas Segunda Ley de Newton (observa que sustituimos las expresiones de los módulos de las fuerzas), y quedan las ecuaciones:

T*cos(45°) - N_B = M*a_cp,

M*g - T*sen(45°) = M*a_T,

a continuación considera la situación en estudio: las partículas son liberadas, y en el instante correspondiente todavía no han desarrollado velocidades, y por ende tampoco aceleraciones centrípetas, por lo que puedes considerar: a_cp = 0, y al reemplazar y resolver en el segundo miembro en la primera ecuación, este sistema de ecuaciones queda: 

T*cos(45°) - N_B = 0, y de aquí despejas: N_B = T*cos(45°) (2a),

M*g - T*sen(45°) = M*a_T (2b). 

3°)

Divides miembro a miembro la ecuación señalada (2b) entre la ecuación señalada (1a), y queda:

(M*g - T*sen(45°))/(T*cos(45°)) = M*a_T/(M*a_T), aquí simplificas en el segundo miembro, a continuación multiplicas en ambos miembros por T*cos(45°), y queda:

M*g - T*sen(45°) = T*cos(45°),

ahora reemplazas los valores exactos de las expresiones trigonométricas, y queda:

M*g - T*√(2)/2 = T*√(2)/2,

a continuación sumas T*√(2)/2 en ambos miembros, y queda:

M*g = T*√(2),

y de aquí despejas:

T = (1/√(2))*M*g (3a).

4°)

Sustituyes la expresión señalada (3a) en la ecuación señalada (2b), y queda:

M*g - (1/√(2))*M*g*sen(45°) = M*a_T,

a continuación divides por M en todos los términos, reemplazas el valor exacto de la expresión trigonométrica, y queda:

g - (1/√(2))*g*√(2)/2 = a_T,

aquí resuelves el coeficiente en el segundo término, y queda:

g - (1/2)*g = a_T,

ahora reduces términos semejantes, y a continuación despejas:

a_T = (1/2)*g.

Espero haberte ayudado.