Bruno Greco
Ayuda por favor
a)
Para el tramo vertical rugoso, establece un sistema de referencia con origen de coordenadas en su extremo inferior, y con eje OY vertical con sentido postivo hacia arriba; luego, observa que sobre el móvil están aplicadas dos fuerzas verticales: Peso (P = < 0 ; -M*g >, hacia abajo), y Rozamiento dinámico de la pista (frd = < 2 - y ; dy >, inclinada, hacia abajo),
a continuación planteas la expresiones del trabajo realizado por el Peso del móvil, y queda la expresión vectorial:
WP = P•Δy,
aquí sustituyes expresiones vectoriales, desarrollas el producto escalar, resuelves, y queda (observa que el Peso del móvil es constante, y presta atención a la expresión vectorial de su desplazamiento):
WP = < 0 ; -M*g >•< 0 ; L - 0 > = 0 - M*g*L = -M*g*L = -3*10*2 = -60 J,
a continuación planteas la expresiones del trabajo realizado por la fuerza de rozamiento, y queda la expresión vectorial (presta atención a la expresión vectorial del diferencial de desplazamiento del móvil):
Wfrd = 0∫L frd•dy,
aquí sustituyes expresiones vectoriales, desarrollas el producto escalar, resuelves, y queda (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow):
Wfrd = 0∫L < 2 - y ; -1 >•< 0 ; dy > = 0∫L (0 - dy) = -[ y ] = -( L - 0 ) = -L = -2 J;
luego, recuerda que la acción normal, que la pista ejerce sobre el móvil en el tramo semicircular inferior, es perpendicular a la misma en todo punto y, por lo tanto, también es perpendicular al desplazamiento del móvil en todo punto, por lo que tienes:
WN = 0.
b)
Establece un sistema de referencia con origen de coordenadas a nivel del punto "B", con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba, a continuación planteas las expresiones de las energías mecánicas del móvil en los puntos "A", "B", "C" y "D" (observa que el móvil no se encuentra elevado en el punto "B"), y queda:
EMA = EPgA + ECtA = M*g*R + (1/2)*M*v02 = 3*10*0,25 + (1/2)*3*72 = 7,5 + 73,5 = 81 J,
EMB = EPgB + ECtB = 0 + (1/2)*M*vB2 = (1/2)*3*vB2 = 1,5*vB2 (expresada en Joules),
EMC = EPgC + ECtC = M*g*(R + L) + (1/2)*M*vC2 = 3*10*(0,25 + 2) + (1/2)*3*vC2 = 67,5 + 1,5*vC2 (expresada en Joules),
EMD = EPgD + ECtD = M*g*(2*R + L) + (1/2)*M*vD2 = 3*10*(2*0,25 + 2) + (1/2)*3*vD2 = 75 + 1,5*vD2 (expresada en Joules),
a continuación, vamos con cada tramo en estudio por separado:
- para el tramo AB, planteas conservación de la energía mecáncia, por lo que igualas las expresiones correspondientes, resuelves, y queda:
vB = √(54) m/s ≅ 7,348 m/s,
que es la rapidez del móvil cuando se encuentra en el punto "B",
- para el tramo AC, planteas la ecuación "trabajo-variación de energía mecánica", y queda:
Wfrd = EMC - EMA,
aquí sustituyes exprsiones, y queda:
-2 = 67,5 + 1,5*vC2 - 81,
y de aquí despejas:
vC = √(23/3) m/s ≅ 2,769 m/s,
que es la rapidez del móvil cuando se encuentra en el punto "C",
- para el tramo AD, planteas la ecuación "trabajo-variación de energía mecánica", y queda:
Wfrd = EMD - EMA,
aquí sustituyes exprsiones, y queda:
-2 = 75 + 1,5*vD2 - 81,
y de aquí despejas:
vD = √(8/3) m/s ≅ 2,667 m/s,
que es la rapidez del móvil cuando se encuentra en el punto "D".
c)
Planteas la expresión de la energía mecánica del sistema móvil-resorte, cuando el resorte se encuentra en su máxima compresión (observa que en este caso tienes que el móvil está elevado y que se encuentra en reposo, y que el resorte está comprimido), y queda:
EME = EPgE + ECtE + EPeE = M*g*(R + L) + 0 + (1/2)*k*Δs2,
aquí reemplazas datos, resuelves, y queda:
EME = 3*10*(0,25 + 2) + (1/2)*40000*Δs2 = 67,5 + 20000*Δs2 (expresada en Joules),
a continuación planteas la ecuación "trabajo-variación de energía mecánica" entre los puntos A y E, y queda:
Wfrd = EME - EMA,
aquí sustituyes exprsiones, y queda:
-2 = 67,5 + 20000*Δs2 - 81,
y de aquí despejas:
Δs = √(0,000575) m ≅ 0,024 m,
que es el valor de la compresión máxima del resorte.
d)
Planteas la expresión del periodo de oscilación de Movimiento Armónico Simple, y queda:
T = 2π*√(M/k) = 2π*√(3/40000) = 2π*√(0,000075) s ≅ 0,054 s,
a continuación observa que tienes que la energía mecánica máxima del conjunto "móvil-resorte", es igual a la energía potencial elástica cuando el resorte está comprimido y el móvil está en reposo, por lo que puedes plantear:
EME = (1/2)*k*A2,
aquí sustituyes la expresión de la energía mecánica del sistema en el punto "E", y queda:
(1/2)*k*Δs2 = (1/2)*k*A2,
aquí multiplicas por 2 y divides por "k" en ambos miembros, y a continuación despejas:
A = Δs = √(0,000575) m ≅ 0,024 m.
Espero haberte ayudado.