Arquímides globos

Establece un sistema de referencia con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba, según tu figura.

Luego, recuerda que la expresión del volumen de una esfera en función de su radio es: V_g = (4/3)π*R³, por lo que tienes que la expresión del módulo del empuje que el aire ejerce sobre cada globo es:

E_g = δ_ai*V_g*g = δ_ai*(4/3)π*R³*g = (4/3)π*δ_ai*R³*g,

a continuación aplicas la Primera Ley de Newton para cada globo, y queda la ecuación:

E_g - T = 0, de aquí despejas:

T = E, sustituyes la expresión del módulo del empuje que el aire ejerce sobre cada globo, y queda:

T = (4/3)π*δ_ai*R³*g,

que es la expresión del módulo de la tensión en cada una de las cuerdas, en función de la densidad de masa del aire, del radio de cada globo, y del módulo de la aceleración gravitatoria terrestre.

Luego, aplicas la Primera Ley de Newton para la carga, y queda la ecuación:

2*T + E_c - P_c = 0, de aquí despejas:

2*T = P_c - E_c,

aquí sustituyes las expresiones de los módulos de la tensión en cada cuerda, del peso de la carga, y del empuje que el agua ejerce sobre la carga, y queda:

2*(4/3)π*δ_ai*R³*g = M_c*g - δ_m*V_c*g,

aquí divides por g en todos los términos, sustituyes la expresión del volumen de la carga en función de su masa y de su densidad de masa, resuelves el coeficiente en el primer término, y queda:

(8/3)π*δ_ai*R³ = M_c - δ_m*(M_c/δ_c),

multiplicas por 3 y por δ_c en todos los términos, y queda:

8π*δ_ai*R³*δ_c = 3*δ_c*M_c - 3*δ_m*M_c, 

extraes factores comunes en el segundo miembro, y queda:

8π*δ_ai*R³*δ_c = 3*(δ_c - δ_m)*M_c,  

aquí divides por 8π y por δ_ai en ambos miembros, y luego despejas:

R = ∛[3*(δ_c - δ_m)*M_c/(8π*δ_ai*δ_c)],

que es la expresión del radio de cada uno de los globos en función de las densidades de masa de la carga, del agua de mar y del aire, y de la masa de la carga, por lo que queda para ti reemplazar datos expresados en unidades internacionales y hacer el cálculo.

Espero haberte ayudado.