Ayuda con un problema de circuitos

Vamos con una orientación.

Observa nuestra figura, en la que tienes representado tu circuito, con el interruptor S abierto, y con dicho dispositivo cerrado. Luego, vamos con cada uno de los circuitos por separado.

Con el interruptor S abierto: observa que tienes dos nudos (C y E) y tres mallas (CDEFGABC, ABCHEFGA y CDEHC), por lo que aplicas Primera Ley de Kirchhoff para el primer nudo, y Segunda Ley de Kirchhoff para la primer malla y para la tercer malla, a las que recorremos con sentido antihorario, y quedan las ecuaciones:

I₀ = I_A + I₁,

R*I₁ - 2*R*I_A = 0, de aquí despejas: I₁ = 2*I_A (1),

R*I₁ + R*I₀ - V₀ = 0,

a continuación sustituyes la expresión señalada (1) en la primera y en la tercera ecuación, resuelves en la primera ecuación, y queda:

I₀ = 3*I_A (2),

2*R*I_A + R*I₀ - V₀ = 0,

ahora sustituyes la expresión señalada (2) en la última ecuación, reduces términos semejantes, y queda:

5*R*I_A - V₀ = 0, y de aquí despejas: 

I_A = V₀/(5*R) (3),

a continuación sustituyes esta última expresión remarcada en las ecuaciones señaladas (1) (2), resuelves expresiones, y queda:

I₁ = 2*V₀/(5*R),

I₀ = 3*V₀/(5*R).

Con el interruptor S cerrado: observa que tienes tres nudos (C, E y GH, y en este útlimo observa que no tienes resistencia en el segmento recto GH, por lo que puedes considerar a dicho segmento como un único punto) y que puedes considerar las mallas: CDEFGABC, ABCHGA, CDEHC y EFGHE, por lo que aplicas Primera Ley de Kirchhoff para los dos primeros nudos, y Segunda Ley de Kirchhoff para las cuatro mallas mencionadas, a las que recorremos con sentido antihorario, y quedan las ecuaciones: 

I₀₀ = I_C + I₁₁,

I₁₁ = I₀₁ + I₂₂,

R*I₁₁ + R*I₂₂ - R*I_C = 0,

R*I_C - V₀ = 0, y de aquí despejas: I_C = V₀/R (4),

R*I₁₁ + R*I₀₁ - V₀ = 0,

R*I₂₂ - R*I₀₁ = 0,

y quedaría para ti resolver el sistema conformado por estas seis ecuaciones, si tu tarea consiste en determinar los valores de todas las intensidades de corriente eléctrica, para esta situación en estudio.

Luego, divides miembro a miembro la ecuación señalada (3) entre la ecuación señalada (4), simplficias, resuelves, y queda:

I_A/I_C = V₀/(5*R) / (V₀/R) = 1/5.

Espero haberte ayudado.