Ayuda ejercicio de fuerza electrica

a)

Considera el semianillo superior, y observa que es simétrico con respecto al eje OY, por lo que tienes que la fuerza resultante sobre la carga ubicada en su centro de simetría tiene la dirección y el sentido del semieje OY negativo; luego, considera un elemento de carga ubicado, por ejemplo, en la punta de la flecha que tienes en tu figura, cuyo radio correspondiente determna un ángulo θ con respecto al semieje OX positivo, a continuación planteas las expresiones de las componentes del diferencial de fuerza eléctrica en el centro del semianillo, y queda (observa que la densidad de carga de este anillo tiene la expresión: λ₁ = Q₁/[π*R₁], y que la expresión de la longitud del elementode carga es: R₁*dθ):

dF_1x = -k*(Q₁/[π*R₁])*R₁*cosθ*dθ*q/R₁² = -k*(Q₁*q*[π*R₁²])*cosθ*dθ,

dF_1y = -k*(Q₁/[π*R₁])*R₁*senθ*dθ*q/R₁² = -k*(Q₁*q/[π*R₁²])*senθ*dθ,

a continuación integras (observa que los límites de integración son: 0 y π), resuelves, y queda:

F_1x = 0,

F_1y = -2*k*(Q₁*q/[π*R₁²]);

luego, plantas la expresión vectorial de la fuerza ejercida, y queda:

F₁ = < F_1x ; F_1y > = < 0 ; -2*k*(Q₁*q/[π*R₁²]) > = -2*k*(Q₁*q/[π*R₁²]) * < 0 ; 1 >.

b)

Considera el semianillo inferior, y observa que es simétrico con respecto al eje OY, por lo que tienes que la fuerza resultante sobre la carga ubicada en su centro de simetría tiene la dirección y el sentido del semieje OY positivo; luego, considera un elemento de carga ubicado, por ejemplo, en la punta de la flecha que tienes en tu figura, cuyo radio correspondiente determna un ángulo θ con respecto al semieje OX positivo, a continuación planteas las expresiones de las componentes del diferencial de fuerza eléctrica en el centro del semianillo, y queda (observa que la densidad de carga de este anillo tiene la expresión: λ₂ = Q₂/[π*R₂], y que la expresión de la longitud del elementode carga es: R₂*dθ): 

dF_2x = -k*(Q₂/[π*R₂])*R₂*cosθ*dθ*q/R₂² = -k*(Q₂*q*[π*R₂²])*cosθ*dθ, 

dF_2y = k*(Q₂/[π*R₂])*R₂*senθ*dθ*q/R₂² = k*(Q₂*q/[π*R₂²])*senθ*dθ, 

a continuación integras (observa que los límites de integración son: 0 y π), resuelves, y queda: 

F_2x = 0,

F_2y = 2*k*(Q₂*q/[π*R₂²]);

luego, plantas la expresión vectorial de la fuerza ejercida, y queda: 

F₂ = < F_2x ; F_2y > = < 0 ; 2*k*(Q₂*q/[π*R₂²]) > = 2*k*(Q₂*q/[π*R₂²]) * < 0 ; 1 >.
 

c)

Planteas la condición de equilibrio, y queda la ecuación vectorial (consignamos con "o" al vector nulo):

F₁ + F₂ = o, 

sustituyes expresiones vectoriales en el primer miembro, y queda:

-2*k*(Q₁*q/[π*R₁²]) * < 0 ; 1 > + 2*k*(Q₂*q/[π*R₂²]) * < 0 ; 1 > = o,

multiplicas por π, divides por 2, divides por k y divides por q en todos los términos de esta ecuación, y queda:

-Q₁/R₁² * < 0 ; 1 > + Q₂/R₂² * < 0 ; 1 > = o,

extraes factor común vectorial en el primer miembro, expresas al vector nulo como múltiplo escalar del vector < 0 ; 1 >, y queda:

(-Q₁/R₁² + Q₂/R₂²) * < 0 ; 1 > = 0 * < 0 ; 1 >,

y por igualdad entre expresiones vectoriales, queda la ecuación escalar:

-Q₁/R₁² + Q₂/R₂² = 0,

sustituyes la expresión del radio del semianillo superior en función del radio del semianillo inferior que tienes en tu enunciado, en el primer término, lo resuelves, y queda:

-4*Q₁/R₂² + Q₂/R₂² = 0,

multiplicas por R22 en todos los términos de esta ecuación, y queda:

-4*Q₁ + Q₂ = 0,

restas Q₂ en ambos miembros, a continuación multiplicas por -1/4 en ambos miembros, y queda:

Q₁ = 4*Q₂.

Espero haberte ayudado.