Mariana Lovera
1. Una barra de L = 12 cm de longitud desliza sin fricción en el plano horizontal que muestra la figura, apoyando sus extremos sobre dos rieles paralelos entre sí, de modo que la barra es en todo momento perpendicular a los rieles. El campo magnético en esa región es uniforme y estacionario, normal al plano de la figura. Una fuerza constante de F = 0,8 N mueve la barra con rapidez constante de v = 2,3 m/s. ¿Cuánto vale la intensidad de corriente sobre la resistencia que cierra el circuito, si R=8 Ω si tanto la barra como los rieles son conductores ideales. Expresar la respuesta en mA. (ADJUNTO 1)
2. Una bobina compuesta por 364 espiras circulares de 1,4 cm de radio está orientada con el plano de sus espiras perpendicular a un campo magnético que varía sinusoidalmente con el tiempo con una frecuencia de 96 Hz. La amplitud de la fuerza electromotriz inducida en esta bobina es de 5,0 V. ¿Cuánto vale la amplitud del campo magnético en el cual está inmersa? Expresar el resultado en mT.
3. Un marco rectangular de alambre de longitud a0 = 60 cm y ancho b0 = 40 cm está inmerso completamente en un campo magnético uniforme y estacionario de magnitud 0,5 T perpendicular al plano determinado por el marco. La longitud del marco crece a razón de 20 mm/s, y su ancho decrece al mismo ritmo. ¿Cuál es la magnitud de la fem inducida al cabo de 4,6 s de iniciado este proceso? Expresar el resultado en mV.
4. Una bobina está formada por 5 espiras cuadradas de 13 cm de lado. Su resistencia vale 5,1 Ω. Esta bobina está inmersa en un campo magnético uniforme cuyas líneas forman 27° con el plano de las espiras. El campo magnético varía con el tiempo según la ley B(t) = 0,4t3, manteniendo constante su dirección. ¿Cuánto vale la intensidad de la corriente inducida en la bobina en t = 3,3 s? Expresa el resultado en mA.
1)
Vamos con una orientación.
Observa que el área rectangular, que determina la barra móvil con el circuito en su parte izquierda, es cada vez mayor a medida que la barra se desplaza hacia la derecha, por lo que aumentan las líneas de campo magnético entrantes a dicha área, como muestra tu figura.
Luego, de acuerdo con Ley de Faraday-Lenz, tienes que se inducirá una intensidad de corriente eléctrica, cuyo campo magnético generará líneas de campo inducido salientes, y para qu esto sea posible tienes que la intensidad de corriente inducida debe transitar la barra móvil con sentido hacia arriba según tu figura, y con sentido antihorario al cuadro rectangular completo, según Regla de la Mano Derecha (recuerda: tus dedos con el sentido de la intensidad de corriente inducida, los cierras según el sentido del campo magnético, y tu pulgar te indica la diercción y el sentido de la fuerza de origen magnético inducida, que en este caso es horizontal con sentido positivo hacia la izquierda).
Luego, planteas la expresión del flujo magnético que atraviesa el área rectangular, en función de la longitud de los lados horizontales del cuadro (a la que designamos con "x"), y queda:
Φ = B•A(x) = |B|*A(x)*sen(90°) = |B|*x*L*1 = |B|*L*x,
ahora expresas a la lontigud de la basde del cuadro en función de la rapidez de la barra y del tiempo, y queda:
Φ = |B|*L*v*t,
a continuación plantesa la expresión de la derivada del flujo magnético con respecto al tiempo, y queda:
dΦ/dt = |B|*L*v,
y de acuerdo con Ley de Faraday-Lenz, tienes que la expresión del valor absoluto de la fuerza electromotriz inducida queda:
|εi| = |B|*L*v (1).
Luego, aplicas Ley de Ohm, y la expresión de la intensidad de corriente inducida que transita el cuadro rectangular, queda:
|εi| = R*Ii,
aquí sustituyes la expresión señalada (1) en el primer miembro, y queda:
|B|*L*v = R*Ii (1).
Luego, aplicas Ley de Lorentz, y la expresión del módulo de la fuerza de origen magnético inducida sobre la barra, queda:
|Fi| = Ii*L*|B|,
a continuación, y de acuerdo con Primera Ley de Newton, tienes que el módulo de esta fuerza es igual al módulo de la fuerza externa que está aplicada sobre la barra: |F|, por lo que sustituyes esta expresión en el primer miembro en esta última ecuación, y queda:
|F| = Ii*L*|B|,
y de aquí despejas:
|B| = |F|/(Ii*L) (2).
Luego, sustituyes esta útlima expresión en el primer miembro en la ecuación señalada (1), simplificas, y queda:
|F|*v/Ii = R*Ii,
y de aquí despejas:
Ii = √(|F|*v/R),
que es la expresión de la intensidad de corriente inducida en el circuito, en función de los datos que tienes en tu enunciado, a continuación reemplazas sus valores expresados en unidades internacionales, y queda:
Ii = √(0,8*2,3/8) = √(0,23) A = √(0,23)*1000 mA ≅ 692,519 mA.
2)
Planteas la expresión del flujo total en función del tiempo que atraviesa las espiras de la bobina, y queda (observa que consideramos que los vectores normales a las áreas de las espiras son paralelos al campo magnético que las atraviesa):
Φ(t) = N*B(t)•A = N*|B(t)|*A*cos(0°) = N*|B(t)|*π*R²*1 = N*|B(t)|*π*R² (1).
Luego, planteas la expresión del módulo del campo magnético en función del tiempo, y queda:
|B(t)| = B0 * cos(2π*f*t)
a continuación sustituyes esta expresión en la expresión del flujo magnético señalada (1), ordenas factores, y queda:
Φ(t) = N*π*R² * B0 * cos(2π*f*t),
aquí derivas con respecto al tiempo, y queda:
dΦ(t)/dt = N*π*R² * B0 * [-sen(2π*f*t)*2π*f],
ahora resuelve la expresión en el segundo miembro, multiplicas por -1 en ambos miembros, y queda:
-dΦ(t)/dt = N*2π² * f *R² * B0 * sen(2π*f*t),
a continuación, de acuerdo con Ley de Lenz-Faraday, sustituyes la expresión de la fuerza electromotriz inducida en la bobina en el primer miembro, y queda:
εi(t) = N*2π² * f *R² * B0 * sen(2π*f*t),
y observa que la amplitud de esta fuerza electromotriz inducida tiene la expresión:
εi0 = N*2π² * f*R² * B0,
y de aquí despejas:
B0 = εi0 / (N*2π² * f*R²),
que es la expresión de la amplitud del campo magnético que atraviesa la bobina, en función de los datos que tienes en tu enunciado, a continuación reemplazas valores expresados en unidades internacionales, resuelves, y queda:
B0 = 5/(364*2π² * 56*0,014²) ≅ 0,063401 T ≅ 63,401 mT.
3)
Vamos con un desarrollo por etapas, y observa que en nuestro desarrollo empleamos unidades internacionales.
1°)
Tienes la expresión de la variación de la longitud del marco, en función del tiempo:
da(t)/dt = +0,02 m/s (1),
ahora integras con respecto al tiemo en ambos miembros, y queda la expresión general:
a(t) = +0,02*t + Ca (2),
ahora evalúas para el instante inicial: t = 0, cancelas el término nulo, reemplazas el valor de la longitud inicial: a(0) = 0,6 m, y a continuación despejas:
Ca = 0,6 m,
a continuación reemplazas este valor en el último término en la expresión señalada (1), y queda:
a(t) = +0,02*t + 0,6 (3),
que es la expresión de la longitud del marco en función del tiempo, expresada en metro.
2°)
Tienes la expresión de la variación del ancho del marco, en función del tiempo:
db(t)/dt = -0,02 m/s (4),
ahora integras con respecto al tiemo en ambos miembros, y queda la expresión general:
b(t) = -0,02*t + Cb (5),
ahora evalúas para el instante inicial: t = 0, cancelas el término nulo, reemplazas el valor de la longitud inicial: b(0) = 0,4 m, y a continuación despejas:
Ca = 0,4 m,
a continuación reemplazas este valor en el último término en la expresión señalada (3), y queda:
b(t) = -0,02*t + 0,4 (6),
que es la expresión del ancho del marco en función del tiempo, expresada en metro.
3°)
Planteas la expresión del área del marco en función del tiempo (expresada en metro cuadrado), y queda:
A(t) = a(t)*b(t),
aquí derivas con respecto al tiemrpo en ambos miembros (observa que debes aplicar Regla de la Multiplicación en el segundo miembro), y queda:
dA(t)/dt = [da(t)/dt]*b(t) + a(t)*[db(t)/dt],
a continuación sustituyes las expresiones señaladas (1) (6) (3) (4) en el segundo miembro, y queda:
dA(t)/dt = +0,02*(-0,02*t + 0,4) + (+0,02*t + 0,6)*(-0,02),
ahora distribuyes en ambos términos y resuelves en el segundo miembro, y queda:
dA(t)/dt = -0,0008*t - 0,04 m²/s (7),
que es la expresión de la variación del área determinada por el marco, en función del tiempo.
4°)
Planteas la expresión del flujo magnético que atraviesa el marco, en función del tiempo, y queda (observa que consideramos que el campo magnético y el vector normal al área determinada por el marco rectangular son paralelos con sntidos distintos):
Φ(t) = B•A(t) = |B|*A(t)*cos(180°) = |B|*A(t)*(-1) = -|B|*A(t),
a continuación planteas la expresión de la derivada del este flujo magnético con respecto al tiempo (observa que el módulo del campo magnético es constante), y queda:
dΦ(t)/dt = |B|*dA(t)/dt,
aquí reemplazas el valor del módulo del campo magnético, sustituyes la expresión de la variación del área determinada por el marco en función del tiempo, y queda:
dΦ(t)/dt = 0,5*(-0,0008*t - 0,04),
a continuación distribuyes en el segundo miembro, multiplicas por -1 en todos los términos, y queda:
-dΦ(t)/dt = 0,0004*t + 0,02 (expresado en weber sobre segundo),
aquí aplicas Ley de Lenz-Faraday, por lo que sustituyes la expresión de la fuerza electromotriz inducida en al marco en el primer miembro, y queda:
εi(t) = 0,0004*t + 0,02 (expresada en Volt).
5°)
Evalúas esta última expresión para el instante en estudio: t = 4,6 s, resuelves, y queda:
εi(4,6) = 0,02184 V = 21,84 mV.
4)
Observa que tienes que el campo magnético determina un ángulo cuya medida es 27° con un plano paralelo a las espiras que conforman la bobina, por lo que tienes que el ángulo que dicho campo determina con los vectores normales a las áreas delimitadas por las espiras tiene la expresión:
θ = 90° - 27° = 73°.
Luego, plantes la expresión del flujo magnético total que transita por la bobina en función del tiempo, y queda:
Φ(t) = N * B(t)•A = N * |B(t)| * L² * cosθ,
aquí sustituyes datos expresados en unidades internacionales, y queda:
Φ(t) = 5 * 0,4*t³ * 0,13² * cos(73°),
ahora ordenas factores, resuelves el coeficiente, y queda.
Φ(t) = 0,0338*cos(73°)*t³ (expresado en weber),
a continuación derivas en ambos miembros con respecto al tiempo, y queda.
dΦ(t)/dt = 0,1014*cos(73°)*t² (expresado en weber sobre segundo),
ahora multiplicas por -1 en ambos miembros, aplicas Ley de Faraday-Lenz, y la expresión de la fuerza electromotriz inducida en función del tiempo, queda:
εi(t) = -0,1014*cos(73°)*t² (expresada en volt),
a continuación divides por la resistencia de la bobina en ambos miembros, aplicas Ley de Ohm, y la expresión de la intensidad de corriente inducida en la bobina en función del tiempo, queda (observa que consignamos la expresión del valor absoluto de la fuerza electromotriz inducida en la bobina):
Ii(t) = |εi(t)|/R = 0,1014*cos(73°)*t²/5,1 (expresada en ampère),
a continuación evalúas esta última expresión para el instante en estudio: t = 3,3 s, y queda:
Ii(3,3) = 0,1014*cos(73°)*3,3²/5,1 ≅ 0,063304 A ≅ 63,304 mA.
Espero haberte ayudado.