Veronica Gómez
1. Un conductor cilíndrico recto muy largo tiene radio interior 1,0 mm y radio exterior 4,2 mm. Este cilindro hueco conduce una corriente de 19 A, estando las líneas de corriente uniformemente distribuidas en la sección transversal del material. Un largo alambre conductor pasa por el eje del cilindro, conduciendo la misma corriente que el cilindro, pero en sentido opuesto. Calcula la intensidad del campo magnético a 2,9 mm del eje del cilindro. Expresa el resultado en μT (micro tesla)
2. La figura muestra una sección transversal de tres alambre paralelos, cada uno de los cuales conduce 8 A. Las corrientes tienen el sentido que muestra la figura. Siendo R = 6,4 mm, ¿cuánto vale la magnitud de fuerza magnética sobre un trozo del alambre C de 1,7 m de longitud? Expresar el resultado en mN (mili newtons)
1)
Vamos con una orientación.
Observa nuestra figura, en la que tienes representado el corte transversal del dispositivo en estudio. Luego, tienes los datos:
Ia = 19 A (intensidad de corriente eléctrica del conductor rectilíneo, entrante al plano de la figura),
Ib = 19 A (intensidad de corriente eléctrica del conductor cilíndrico, saliente)
σ = a determinar (densidad de corriente eléctrica en el conductor cilíndrico),
R1 = 1 mm = 10-3 m (radio interior del conductor cilíndrico),
R2 = 4,2 mm = 4,2*10-3 m (radio exterior del conductor cilíndrico),
r = 2,9 mm = 2,9*10-3 m (radio correspondiente a los puntos en estudio).
Considera una trayectoria de Ampère circunferencial (indicada en rojo), y observa que la misma "abraza" a la intensidad de corriente "Ia" y que encierra a una parte de la intensidad "Ib", que se encuentra limitada entre los radios "R1" y "r", a continuación planteas la expresión de la densidad de corriente eléctrica en el conductor cilíndrico (recuerda que se expresa como la razón de la intensidad total que transita por él, entre su área de sección transversal total), y queda:
σ = Ib/A = Ib/[π*(R₂² - R₁²)],
ahora planteas la expresión de la intensidad de corriente que transita por el cilindro que es "abrazada" por la trayectoria de Ampère (recuerda que se expresa como la multiplicación de la densidad de corriete por el área de la porción de sección transversal correspondiente), y queda:
Ic = σ*Aabr = (Ib/[π*(R₂² - R₁²)])*π*(r² - R₁²) = [(r² - R₁²)/(R₂² - R₁²)]*Ib,
aquí reemplazas datos expresados en unidades internacionales, resuelves las expresiones agrupadas, simplificas, y queda:
Ic = [7,41/16,64]*19 = 8,4609375 A,
que es el valor de la intensidad de corriente "abrazada" por la trayectoria de Ampère, y observa que la misma es saliente).
Luego, aplicas Ley de Ampère, y queda la ecuación (consideramos positivo al sentido saliente de las intensidades de corriente, y observa que las líneas de campo magnético son circunferencias concéntricas con la trayectoria de Ampère, con sentido horario para el campo producido por la intensidad de corriente "Ia", cuyo sentido consideramos negativo, y con sentido antihorario para el campo magnético producido por la intensidad "Ic", cuyo sentido consideramos positivo):
Br*2π*r = µ0*(-Ia + Ic),
aquí reemplazas datos, y queda:
Br*2π*2,9*10-3 = 4π*10-7*(-19 + 8,4609375),
y de aquí despejas:
Br = 2*10-4*(-10,5390625)/2,9 ≅ -7,2683190*10-4 T ≅ -726,83190*10-6 T ≅ -726,83190 μT,
cuyo signo negativo te indica que las líneas de campo magnético en los puntos en estudio tienen sentido horario, y observa que el módulo de dicho campo magnético tiene la expresión:
|Br| ≅ -726,83190 μT.
Agregamos nuestra figura.
2)
Vamos con una orientación.
bserva nuestra figura, que consiste en la que tienes en tu enunciado, con algunas referencias adicionales.
Para el conductor A, considera un trayectoria de Ampère circunferencial con centro en el punto A en tu figura y con radio "2*R", observa que el punto C pertenece a la misma, a continuación aplicas Ley de Ampère, y queda la ecuación:
BA*2π*(2*R) = µ0*I,
y de aquí despejas:
BA = µ0*I/(4π*R),
y tienes indicada la dirección y el sentido de este campo magnético en nuestra figura, de acuerdo con Regla de la Mano Derecha (tu pulgar con el sentido de la intensidad de corriente eléctrica, y tus dedos te indican el sentido de circulación del campo magnético alrededor del cable conductor rectilíneo);
luego, aplicas Ley de Lorentz, y la expresión del módulo de la fuerza aplicada sobre el cable conductor C, producida por el conductor A, queda expresada:
FA = I*LC*BA = µ0*I²*LC/(4π*R),
y tienes indicada la dirección y el sentido de esta fuerza en nuestra figura, de acuerdo con Regla de la Mano Derecha (tus dedos con el sentido de la intensidad de corriente, los cierras según el sentido del campo magnético, y tu pulgar te indica el sentido de la fuerza).
Para el conductor B, considera un trayectoria de Ampère circunferencial con centro en el punto B en tu figura y con radio "R", observa que el punto C pertenece a la misma, a continuación aplicas Ley de Ampère, y queda la ecuación:
BB*2π*R = µ0*I,
y de aquí despejas:
BB = µ0*I/(2π*R),
y tienes indicada la dirección y el sentido de este campo magnético en nuestra figura;
luego, aplicas Ley de Lorentz, y la expresión del módulo de la fuerza aplicada sobre el cable conductor C, producida por el conductor B, queda expresada:
FB = I*LC*BB = µ0*I²*LC/(2π*R),
y tienes indicada la dirección y el sentido de esta fuerza en nuestra figura.
Luego, planteas la expresión del módulo de la fuerza resultante aplicada sobre el conductor C, y queda:
FC = FB - FA = µ0*I²*LC/(2π*R) - µ0*I²*LC/(4π*R) = µ0*I²*LC/(4π*R);
luego, reemplazas datos expresados en unidades internacionales, y queda:
FC = 4π*10-7*8²*1,7/(4π*6,4*10-3) = 17*10-4 N = 1,7*10-3 N = 1,7 mN.
Espero haberte ayudado.