Rebeca Sanchez
Hola buenas, estoy un poco desesperada con este ejercicio 😣 y agradeciería mucho si alguien me ayuda.
Muchas gracias!
Una superficie uniformemente plana tiene la forma de un triángulo rectángulo con catetos de 5.0 dm y 7.0 dm. El cateto más largo está a lo largo del eje y y el más corto a lo largo del eje x. La densidad de área de la superficie es de 1,0 kg / dm2.
-Haz una figura y determina las coordenadas del centro de gravedad de la superficie.
-Calcula el movimiento de inercia de la superficie sobre el eje y.
Observa la figura, en la que representamos la superficie en estudio (R), y seña∫lamos sus vértices y las ecuaciones cartesianas de sus bordes.
Oberva que la expresión del área del triángulo es:
A = g*h/2 = 5*7/2 = 35/2 dm2.
a)
Planteas la expresión de la masa de la superficie (observa que su densidad de masa es constante), y queda:
M = δ*A = 1*(35/2) = 35/2 Kg;
luego, observa que si trazas segmentos paralelo al eje OY en la gráfica de la superficie, tienes que todos estos segmentos tienen sus extremos inferiores sobre el eje OX (cuya ecuación cartesiana es: y = 0), y sobre la recta borde (cuya ecuación es: y = -(7/5)*x + 7), y que el primer segmento s encuentra sobre el eje OY (cuya ecuación es: x = 0), y cuyo último segmento se encuentra en el punto cuya abscisa es: x = 5, por lo que puedes plantear que la superficie en estudio queda descrita por las inecuaciones dobles:
0 ≤ y ≤ -(7/5)*x + 7,
0 ≤ x ≤ 5.
a1)
Planteas la expresión del momento de primer orden con respecto al eje OX, y queda:
Mx = ∫∫R y*δ*dy*dx = ∫∫R y*1*dy*dx = ∫∫R y*dy*dx,
aquí introduces los límites de integración, y queda:
Mx = 0∫50∫-(7/5)*x+7 y*dy*dx,
a continuación integras para la variable "y" (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:
Mx = 0∫5 [ (1/2)*y2 ]*dx,
evalúas para la variable "y", y queda:
Mx = 0∫5 ( (1/2)*((-7/5)*x + 7)2 )*dx = 0∫5 ( (49/50)*x2 - (49/5)*x + 49/2 )*dx,
a continuación integras para la variable "x" (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:
Mx = [ (49/150)*x3 - (49/10)*x2 + (49/2)*x ],
evalúas para la variable "x", queda:
Mx = 245/6 - 245/2 + 245/2 = 245/6;
luego, planteas la expresión de la ordenada del centro de gravedad de la superficie en estudio, y queda:
ycg = Mx/M,
reemplazas valores que ya tienes calculados, y queda:
ycg = (245/6)/(35/2) = 7/3 dm.
a2)
Planteas la expresión del momento de primer orden con respecto al eje OY, y queda:
My = ∫∫R x*δ*dy*dx = ∫∫R x*1*dy*dx = ∫∫R x*dy*dx,
aquí introduces los límites de integración, y queda:
My = 0∫50∫-(7/5)*x+7 x*dy*dx,
a continuación integras para la variable "y" (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:
My = 0∫5 x*[ y ]*dx,
evalúas para la variable "y", y queda:
My = 0∫5 x*( (-7/5)*x + 7) )*dx = 0∫5 ( -(7/5)*x2 + 7*x )*dx,
a continuación integras para la variable "x" (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:
My = [ -(7/15)*x3 + (7/2)*x2 ],
evalúas para la variable "x", queda:
My = -175/3 + 175/2 = 175/6;
luego, planteas la expresión de la abscisa del centro de gravedad de la superficie en estudio, y queda:
xcg = My/M,
reemplazas valores que ya tienes calculados, y queda:
xcg = (175/6)/(35/2) = 5/3 dm.
b)
Planteas la expresión del momento de inercia con respecto al eje OY, y queda:
Iy = ∫∫R x2*δ*dy*dx = ∫∫R x2*1*dy*dx = ∫∫R x2*dy*dx,
aquí introduces los límites de integración, y queda:
Iy = 0∫50∫-(7/5)*x+7 x2*dy*dx,
a continuación integras para la variable "y" (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:
Iy = 0∫5 x2*[ y ]*dx,
evalúas para la variable "y", y queda:
Iy = 0∫5 x2*( (-7/5)*x + 7 )*dx = 0∫5 ( -(7/5)*x3 + 7*x2 )*dx,
a continuación integras para la variable "x" (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:
Iy = [ -(7/20)*x4 + (7/3)*x3 ],
evalúas para la variable "x", queda:
Iy = -875/4 + 875/3 = 875/12 Kg*dm2.
Espero haberte ayudado.