Coeficiente de restitución en una superficie con rozamiento

En este video te lo cuentan paso a paso https://www.youtube.com/watch?v=6VC3GuzDusI

La respuesta es e=(tga - u)/(tgb + u), sin embargo necesito la demostración de esta fórmula 

Observa nuestra figura, en la que tienes representados las direcciones y sentidos del desplazamiento del móvil antes y después del choque, y también las fuerzas que están aplicadas sobre el mismo durante su choque contra el piso.

Luego, planteas las expresiones de las variaciones de las componentes de la cantidad de movimiento del móvil, en función de los ángulos indicados y de los módulos de sus velocidades, y queda:

Δp_x = M*(|v_d|*senβ - |v_a|*senα),

Δp_y = M*(|v_d|*cosβ - [-|v_a|*cosα]) = M*(|v_d|*cosβ + |v_a|*cosα),

a continuación planteas las expresiones de sus módulos (observa que la primera expresión es negativa, por acción de la fuerza de rozamiento que el piso ejerce sobre el móvil durante el choque, y que la segunda expresión es positiva), y queda:

|Δp_x| = -M*(|v_d|*senβ - |v_a|*senα) (1),

|Δp_y| = M*(|v_d|*cosβ + |v_a|*cosα) (2);

luego, planteas las expresiones de las componentes del impulso ejercido por el piso sobre el móvil durante el choque (observa que despreciamos el peso del móvil, que sustituimos la expresión del módulo de la fuerza de rozamiento, y que indicamos con Δt al intervalo de tiempo transcurrido durante el choque), y queda:

J_x = -fr*Δt = -μ*|N|*Δt, cuyo módulo tiene la expresión: |J_x| = μ*|N|*Δt (1a),

J_y = |N|*Δt, cuyo módulo tiene la expresión: |J_y| = |N|*Δt (2a),

a continuación planteas las expresiones de las componentes del impulso en función de las componentes de la variación de la cantidad de movimiento (observa que consignamos las expresiones de los módulos de dichas componentes), y queda:

|J_x| = |Δp_x|,

|J_y| = |Δp_y|,

aquí sustituyes las expresiones señaladas (1a) (1) (2a) (2), y queda:

μ*|N|*Δt = -M*(|v_d|*senβ - |v_a|*senα),  

|N|*Δt = M*(|v_d|*cosβ + |v_a|*cosα),

ahora divides miembro a miembro la primera ecuación entre la segunda, simplificas, y queda:

μ = -(|v_d|*senβ - |v_a|*senα)/(|v_d|*cosβ + |v_a|*cosα),

aquí extraes factor común (|va|) en el numerador y en el denominador, simplificas, y queda:

μ = -([|v_d|/|v_a|]*senβ - senα)/([|v_d|/|v_a|]*cosβ + cosα) (3);

luego, planteas la expresión del coeficiente de restitución, en función de los módulos de las componentes verticales de la velocidad del móvil, y queda:

e = |v_dy|/|v_ay|,

aquí sustituyes expresiones en el segundo miembro, y queda:

e = |v_d|*cosβ/(|v_a|*cosα),

y de aquí despejas:

|v_d| /|v_a| = e*cosα/cosβ,

a continuación sustituyes esta última expresión en la ecuación señalada (3), y queda:

μ = -([e*cosα/cosβ]*senβ - senα)/([e*cosα/cosβ]*cosβ + cosα), 

a continuación resuelves expresiones trigonométricas y simplificas, y queda:

μ = -(e*cosα*tanβ - senα)/(e*cosα + cosα), 

ahora extraes factor común (cosα) en el numerador y en el denominador, simplificas, resuelve expresiones trigonométricas, y queda:

μ = -(e*tanβ - tanα)/(e + 1),  

aquí multiplicas por (e + 1) en ambos miembros, distribuyes en ambos miembros, y queda:

μ*e + μ = -e*tanβ + tanα,

aquí sumas e*tanβ y restas μ en ambos miembros, y queda:

e*tanβ + μ*e = tanα - μ,

aquí extraes factor común en el primer miembro, y a continuación despejas:

e = (tanα - μ)/(tanβ + μ).

Espero haberte ayudado.