Conductividad

Profesor Antonio, me podría ayudar con lo siguiente, tengo el planteamiento, pero no estoy segura del resultado: 

La superficie de un pequeño lago se congeló, alcanzando el equilibrio térmico con el aire sobre él a -5ºC. El fondo del lago está a 4ºC. Determina el ancho de la superficie del hielo, sabiendo que la profundidad del lago más la superficie del hielo es igual a 1,4 m.

En el contexto del problema, k= 10 W/m^2 K y h= 2 W/m^2 K son las conductividades térmicas de la interfaz agua-hielo y la interfaz hielo-aire, respectivamente.

Lo que he planteando hasta el momento:

La tasa de transferencia de calor por unidad de área a través del hielo se puede expresar como:

Q/A = k * (Th - Tc)/d

donde Q es la tasa de transferencia de calor por unidad de tiempo, A es el área de la sección transversal del hielo, k es la conductividad térmica del hielo, Th es la temperatura del aire sobre el hielo, Tc es la temperatura del agua debajo el hielo, y d es el espesor del hielo.

Dado que la tasa de transferencia de calor a través del hielo es constante, podemos igualar la tasa de transferencia de calor a través del hielo a la tasa de transferencia de calor del agua al hielo:

Q/A = k * (Th - Tc)/d = h * (Tc - Ti)

Quedando solamente:

k * (Th - Tc)/d = h * (Tc - Ti)

Y donde h es el coeficiente de transferencia de calor por convección entre el agua y el hielo, y Ti es la temperatura del hielo, que es igual a 0ºC.

Sustituyendo los valores conocidos, obtenemos:

k * (Th - Tc)/d = h * (Tc - Ti)

Resolviendo para d, obtenemos:

d = k * (Th - Tc)/(h * (Tc - Ti))

Para determinar el ancho de la superficie del hielo, necesitamos conocer el área de la sección transversal del hielo. Sabemos que la profundidad del lago más la superficie de hielo es igual a 1,4 m, por lo que podemos escribir:

A = d* a

donde w es el ancho de la superficie del hielo.

Sustituyendo la expresión por d que obtuvimos anteriormente, obtenemos:

A = k * (Th - Tc)/(h * (Tc - Ti)) * w * (1.4 - w)

Pero sabemos que la profundidad del lago más la superficie del hielo es igual a 1,4 m, entonces:

d + a = 1,4

Resolviendo para d, tenemos:

d = 1,4 - w

Sustituyendo esta expresión por d en la expresión por A, obtenemos:

A = k * (Th - Tc)/(h * (Tc - Ti)) * w * (1.4 - w) = A

Resolviendo para w, obtenemos:

w = 1,4 - h * (Tc - Ti)/(k * (Th - Tc))

Sustituyendo los valores conocidos, obtenemos:

w = 1,4 - (10 W/m^2 K) * (4ºC - 0ºC)/(2,22 W/m·K * (-5ºC - 4ºC))

Ancho = 3,40 metros