Conservación de la energía con resorte y plano inclinado

Vamos con un planteo por etapas, en el que empleamos unidades internacionales, y consideramos: g = 10 m/s².

1°)

Desplazamiento del cuerpo desde el punto B hasta el punto A.

Establece un sistema de referencia con eje OX horizontal con sentido positivo hacia la derecha según tu figura, y con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba, a continuación, observa que sobre el cuerpo están aplicadas tres fuerzas: Peso (P = M*g, vertical, hacia abajo), Acción normal de la mesa (N, vertical, hacia arriba), y Rozamiento dinámico de la mesa (fr_d = μ_d*N, horizontal, hacia la izquierda); luego, aplicas la Segunda Ley de Newton, y quedan las ecuaciones (observa que sustituimos las expresiones de los módulos de las fuerzas):

-μ_d*N = M*a,

N - M*g = 0, de aquí despejas: N = M*g,

a continuación sustituyes esta última expresión en la primera ecuación, y en la expresión del módulo de la fuerza de rozamiento que tienes remarcada, resuelves, y queda:

a = -μ_d*g, que es la expresión de la aceleración del cuerpo,

fr_d = μ_d*M*g (1), que es la expresión del módulo de la fuerza de rozamiento dinámico.

a)

Planteas la expresión del trabajo realizado por la fuerza de rozamiento (observa que su sentido es opuesto al sentido de desplazamiento del cuerpo), y queda:

W_frd = -fr_d*Δx, sustituyes la expresión señalada (1), y queda:

W_frd = -μ_d*M*g*Δx (2);

luego, planteas la variación de la energía mecánica del sistema cuerpo-resorte (observa que la energía mecánica inicial es solo energía potencial elástica del resorte, y que la energía mecánica final es solo energía cinética de traslación del cuerpo), y queda:

ΔEM = ECt_A - EPe_B, sustituyes expresiones en el segundo miembro, y queda:

ΔEM = (1/2)*M*v_A² - (1/2)*k*Δx² (3);

luego, planteas la ecuación "trabajo-variación de energía mecánica", y queda la ecuación:

ΔEM = W_frd, sustituyes las expresiones señaladas (3) (2), y queda:

(1/2)*M*v_A² - (1/2)*k*Δx² = -μ_d*M*g*Δx, aquí multiplcas por 2 y divides por M en todos los términos, y finalmente despejas:

v_A = √(k*Δx²/M - 2*μ_d*g*Δx), 

y queda para ti reemplazar datos expresados en unidades internacionales en esta última expresión, y hacer el cálculo.
  

b)

Desplazamiento del cuerpo desde el punto B hasta el punto C.

Planteas la expresión del trabajo realizado por la fuerza de rozamiento (observa que su sentido es opuesto al sentido de desplazamiento del cuerpo), y queda:

W_frd = -fr_d*Δx, sustituyes la expresión señalada (1), y queda:

W_frd = -μ_d*M*g*s (4);

luego, planteas la variación de la energía mecánica del sistema cuerpo-resorte (observa que la energía mecánica inicial es solo energía potencial elástica del resorte, y que la energía mecánica final es solo energía cinética de traslación del cuerpo), y queda:

ΔEM = ECt_A - EPe_B, sustituyes expresiones en el segundo miembro, y queda:

ΔEM = (1/2)*M*v_C² - (1/2)*k*s² (5);

luego, planteas la ecuación "trabajo-variación de energía mecánica", y queda la ecuación:

ΔEM = W_frd, sustituyes las expresiones señaladas (5) (4), y queda:

(1/2)*M*v_C² - (1/2)*k*s² = -μ_d*M*g*s, aquí multiplcas por 2 y divides por M en todos los términos, y finalmente despejas:

v_C = √(k*s²/M - 2*μ_d*g*s), 

y queda para ti reemplazar datos expresados en unidades internacionales en esta última expresión, y hacer el cálculo. 

2°)

Ascenso del cuerpo por la rampa, desde el punto C hasta el punto D.

Planteas la expresión de la variación de energía mecánica del cuerpo (observa que la energía mecánica en el punto C es solo energía cinética de traslación, y que en el punto D es solo energía potencial gravitatoria), y queda:

ΔEM = EPg_D - ECt_C, sustituyes expresiones en el segundo miembro, y queda: 

ΔEM = M*g*y_D - (1/2)*M*v_C², sustituyes la expresión de la altura final del cuerpo (observa: senθ = y_D/L), y queda:

ΔEM = M*g*L*senθ - (1/2)*M*v_C² (6).

c) d)

Como tienes que la superficie de la rampa es lisa, entonces tienes que la energía mecánica se conserva, por lo que puedes plantear la ecuación:

ΔEM = 0, sustituyes la expresión señalada (6), y queda:

M*g*L*senθ - (1/2)*M*v_C² = 0, multiplicas por 2 y divides por M en todos los términos, y queda:

2*g*L*senθ - v_C² = 0, sustituyes la expresión de la rapidez del cuerpo en el punto C que tienes del inciso anterior, resuelves la potencia, y queda:

2*g*L*senθ - k*s²/M - 2*μ_d*g*s = 0, multiplicas por M en todos los términos, y queda:

2*M*g*L*senθ - k*s² - 2*μ_d*M*g*s = 0, y de aquí despejas:

L = (k*s² + 2*μ_d*M*g*s)/(2*M*g*senθ),

y queda para ti reemplazar datos expresados en unidades internacionales en esta última expresión, y hacer el cálculo.  

De la lectura de tu enunciado, se entiende que los inciso (c) y (d) se refieren a lo mismo, por lo que tendrás que consultar con tus docentes al respecto, por las dudas se haya deslizado un error.

Espero haberte ayudado.

Profe el literal b no lo entiendo 

Desplazamiento del cuerpo desde el punto B hasta el punto C.

Planteas la expresión del trabajo realizado por la fuerza de rozamiento (observa que su sentido es opuesto al sentido de desplazamiento del cuerpo), y queda:

W_frd = -fr_d*Δx, sustituyes la expresión señalada (1), y queda:

W_frd = -μ_d*M*g*s (4);

luego, planteas la variación de la energía mecánica del sistema cuerpo-resorte (observa que la energía mecánica inicial es solo energía potencial elástica del resorte, y que la energía mecánica final es solo energía cinética de traslación del cuerpo), y queda:

ΔEM = ECt_A - EPe_B, sustituyes expresiones en el segundo miembro, y queda:

ΔEM = (1/2)*M*v_C² - (1/2)*k*s² (5); esta expresion no deberia dejar de estar la energia potencial elastica y solo se tendria energia cinetica del punto B - C

luego, planteas la ecuación "trabajo-variación de energía mecánica", y queda la ecuación:

ΔEM = W_frd, sustituyes las expresiones señaladas (5) (4), y queda:

(1/2)*M*v_C² - (1/2)*k*s² = -μ_d*M*g*s, aquí multiplcas por 2 y divides por M en todos los términos, y finalmente despejas:

v_C = √(k*s²/M - 2*μ_d*g*s), 

y queda para ti reemplazar datos expresados en unidades internacionales en esta última expresión, y hacer el cálculo.