Jesús Alexander Molina
El mecanismo de lanzamiento de un rifle de juguete consiste en un resorte de constante de resorte desconocida (figura a). Cuando el resorte se
comprime 0.120 m, y se dispara verticalmente el rifle, es capaz de lanzar un proyectil de 35.0 g a una altura máxima de 20.0 m arriba de la posición cuando el proyectil deja el resorte.
a) Ignore todas las fuerzas resistivas y determine la constante del resorte.
b) Hallar la rapidez del proyectil a medida, que se traslada a través de la posición de equilibrio del resorte, como se muestra en la figura b.
Establece un sistema de referencia con origen de coordenadas a nivel del extremo libre del resorte cuando éste se encuentra relajado, y con eje OY vertical con sentido positivo haica arriba, y observa que tienes tres situaciones de interés para resolver este problema.
1°)
El proyectil está en reposo y por debajo del origen de coordenadas, y el resorte está comprimido, por lo que la energía mecánica del sistema proyectil-resorte es solamente energía potencial elástica y eneergía potencial gravitatoria, y su expresión es:
EM1 = EPe1 + EPg1 = (1/2)*k*Δy2 + M*g*y1.
2°)
El proyectil está en movimiento y en el origen de coordenadas, y el resorte está relajado, por lo que la energía mecánica del sistema proyectil-resorte es solamente energía cinética de traslación, y su expresión es:
EM2 = ECt2 = (1/2)*M*v22.
3°)
El proyectil está en reposo y en el punto cumbre de su trayectoria, y el resorte está relajado, por lo que la energía mecánica del sistema proyectil-resorte es solamente energía potencial gravitatoria, y su expresión es:
EM3 = EPg3 = M*g*y3.
Luego, planteas conservación de la eergía mecánica del sistema proyectil-resorte, entre la primera y la tercera situación, y entre la segunda y la tercera situación, y queda el sistema de ecuaciones:
EM1 = EM3,
EM2 = EM3,
sustituyes expresiones en ambas ecuaciones, y queda:
(1/2)*k*Δy2 + M*g*y1 = M*g*y3,
(1/2)*M*v22 = M*g*y3,
de la primera ecuación despejas:
k = 2*M*g*(y3 - y1)/Δy2,
y de la segunda ecuación despejas:
v2 = √(2*g*y3),
a continuación tienes los datos (observa que empleamos unidades internacionales):
M = 35 g = 0,035 Kg (masa del proyectil),
g = 9,8 m/s2 (módulo de la aceleración gravitatoria terrestre),
y1 = -0,12 m (posición del proyectil justo antes de efectuar el disparo),
y3 = 20 m (posición del punto cumbre de la trayectoria del proyectil),
a continuación reemplazas estos valores en las ecuaciones remarcadas, resuelves, y queda:
k ≅ 958,494 N/m, que es la respuesta (a)
v2 ≅ 19,799 m/s, que es la respuesta (b).
Espero haberte ayudado.