Ángel Beltrán García
Buenos días:
Mi profesora me propuso el siguiente problema.
A un disco homogéneo de masa M = 50 kg y radio R = 0,5 m, que está inicialmente en reposo
sobre una superficie horizontal, se le aplica una fuerza horizontal F en su centro, como indica la
figura. Los coeficientes de rozamiento estático y dinámico son μe = 0,30 y μd = 0,25.
Determine:
a) La aceleración lineal del centro de masas del disco y su aceleración angular de rotación
entorno a él cuando la fuerza aplicada es F = 90 N.
b) Obtenga el valor máximo de la fuerza aplicada para que el disco no deslice.
c) La aceleración lineal del centro de masas del disco y su aceleración angular de rotación
entorno a él cuando la fuerza aplicada es F = 500 N
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Mi duda surge en el apartado b, donde segun los calculos adjuntados la fuerza aplicada debe ser de 441 N. Sin embargo y según lo que tengo entendido, para que on objeto rote sin deslizar es necesario que la fuerza aplicada sea menor o igual a la fuerza de rozamiento estatica maxima por lo que (al ser el valor de esta fuerza de rozamiento estatica max de 147 N) me surge la duda de si he tenido algun fallo en el calculo o si en su defecto no estoy entendiendo bien los conceptos.
Muchas gracias.
Vamos con una orientación.
Recuerda que si el disco rueda sin deslizar, entonces tienes que la fuerza de rozamiento es estática, ya que tienes que el disco se apoya instante a instante sobre la superficie y, por lo tanto, también tienes que la fuerza de rozamiento estática en cuestión es conservativa, y su función es convertir parte de la energía cinética del disco en energía cinética de rotación; además, recuerda que la expresión: fre = μe*N corresponde al módulo de la fuerza de rozamiento estático cuando tienes un objeto que se encuentra apoyado, en reposo, y a punto de deslizar (en este caso, tienes que la expresión corresponde al módulo de la fuerza de rozamiento estático máximo).
Luego, para el inciso (b) de tu problema, aplicas la Segunda Ley de Newton para traslación y para giros (observa que has considerado un sistema de referencia con eje OX horizontal con sentido positivo hacia la derecha según tu diagrama, con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba, con eje de giros coincidente con el eje de simetría del disco, y con sentido de giro positivo antihorario), y queda el sistema de ecuaciones:
F - fre = M*a (1),
N - M*g = 0, de aquí despejas: N = M*g,
R*fre = I*α,
a continuación sustituyes en esta última ecuación: la expresión del momento de inercia del disco con respecto a su eje de simetría (I = (1/2)*M*R2), y la expresión del módulo de la aceleración angular del disco, en función de su radio y del módulo de su aceleración lineal (α = a/R), y queda:
R*fre = (1/2)*M*R2*a/R, aquí divides por R en ambos miembros, simplificas en el segundo miembro, y queda: fre = (1/2)*M*a (2),
a continuación sustituyes la expresión señalada (2) en la ecuación señalada (1), y queda:
F - (1/2)*M*a = M*a, aquí sumas (1/2)*M*a en ambos miembros, y queda:
F = (3/2)*M*a, y de aquí despejas:
a = (2/3)*F/M (3),
a continuación sustituyes esta última expresión en la ecuación señalada (3), simplificas, y queda:
fre = (1/3)*F,
a continuación, si consideras que el módulo de la fuerza de rozamiento estático es igual al que le corresponde a un bloque apoyado y a punto de deslizar:
fre = μe*N (4),
sustituyes su expresión en el primer miembro de esta última ecuación, y queda:
μe*N = (1/3)*F,
aquí sustituyes la expresión del módulo de la acción normal de la superficie de apoyo que tienes remarcada, multiplicas por 3 en ambos miembos, y a contiuación despejas:
F = 3*μe*M*g,
a continuación sustituyes esta última expresión en la ecuación señalada (3), simplificas, y queda:
a = 2*μe*g,
a continuació sustituyes la expresión del módulo de la acción normal ejercida por la superficie de apoyo que tienes remarcada, en la ecuación señalada (4), y queda:
fre = μe*M*g;
luego, reemplazas datos en las cuatro ecuaciones que tienes remarcadas, resuelves, y queda:
N = 50*9,8 = 490 N,
F = 3*0,30*50*9,8 = 441 N,
a = 2*0,30*9,8 = 5,88 m/s2,
fre = 0,30*50*9,8 = 147 N.
Por último, obsrva que la fuerza resultante que está aplicada sobre el disco es horizontal con sentido positivo hacia la derecha, y que su módulo es igual a la diferencia del módulo de la fuerza externa aplicada con respecto al módulo de la fuerza de rozamiento estático, por lo que tienes necesariamente que el módulo de la primera fuerza debe ser mayor que el módulo de la segunda fuerza mencionada.
Espero haberte ayudado.