Christopher
Un péndulo simple de 2 m de longitud está en un lugar donde g = 9.8 m/s2
. El péndulo oscila
con una amplitud de 2º. Exprese en función del tiempo: (a) Su desplazamiento angular; (b) Su
velocidad angular; (c) Su aceleración angular; (d) Su velocidad lineal; (e) Su aceleración
centrípeta; (f) La tensión de la cuerda si la masa de la lenteja es 1 kg.
Observa que la longitud de la cuerda es: L = 2m, que la amplitud de oscilación es muy pequeña: A = 2° = 2*π/180 = π/90 rad, que el módulo de la aceleración gravitaoria terrestre es: g = 9,8 m/s2, y que la masa del oscilador es: M = 2 Kg.
Luego, planteas la expresión de la pulsación para un péndulo simple ideal, y queda:
w = √(g/L) = √(9,8/2) = √(4,9) rad/s ≅ 2,214 rad/s.
a)
Si considras que el desplazamiento angular es nulo cuando el oscilador se encuentra en su posición de equilibrio (y la cuerda se encuentra sobre la vertical al centro de oscilación), planteas la expresión de la función desplazamiento angular, y queda:
θ(t) = A*sen[w*t], aquí reemplazas valores, y queda:
θ(t) = (π/90)*sen[√(4,9)*t] (en rad).
b)
Derivas con respecto al tiempo la expresión de la función desplazamiento angular, y la expresión de la velocidad angular en función del tiempo queda:
ω(t) = (π*√(4,9)/90)*cos[√(4,9)*t] (en rad/s).
c)
Derivas con respecto al tiempo la expresión de la función velocidad angular, y la expresión de la aceleración angular en función del tiempo queda:
α(t) = -(π*4,9/90)*sen[√(4,9)*t] (en rad/s2).
d)
Planteas la expresión de la función velocidad lineal del oscilador, en función de la longitud de la cuerda y de la velocidad angular, y queda:
v(t) = L*ω(t), sustituyes expresiones, resuelves el coeiciente, y queda:
v(t) = (π*√(4,9)/45)*cos[√(4,9)*t] (en m/s).
e)
Planteas la expresión de la función módulo de la aceleración centrípeta del oscilador en función de la longitud de la cuerda y de su velocidad angular, y queda:
||acp|| = L*ω(t)2, sustituyes expresiones, resuelves, y queda:
||acp|| = (4,9π/4050)*cos2[√(4,9)*t] (en m/s2).
f)
Aquí considera una posición "intermedia" del oscilador, y establece un sistema de referencia con eje OY paralelo a la cuerda con sentido positivo hacia el eje de oscilaciones, y con eje OX perpendicular a la cuerda, con sentido positivo hacia la posición de equilibrio; luego, observa que sobre el oscilador están aplicadas dos fuerzas: Peso (M*g, vertical, hacia abajo), y Tensión de la cuerda (T(t), paralela a la cuerda, con sentido positivo hacia el eje de giros); luego, aplicas la Segunda Ley de Newton, y quedan las ecuaciones (aquí presta atención al desplazamiento angular θ(t) en el instante en estudio, y observa que sustituimos la expresión del módulo del peso del oscilador):
M*g*sen[θ(t)] = M*aT(t),
T(t) - M*g*sen[θ(t)] = M*acp(t),
y de la segunda ecuación despejas:
T(t) = M*g*sen[θ(t)] = M*acp(t),
que es la expresión de la tensión de la cuerda en función del tiempo, y queda para ti sustituir las expresiones del desplazamiento angular y del módulo de la aceleración centrípeta del oscilador.
Espero haberte ayudado.