Encontrar la velocidad del collarín

Observa que puedes plantear este problema en dos etapas.

1°)

Desplazamiento del collarín sobre el alambre (desde el punto inicial hasta el punto B), para lo que puedes establecer un ssitema de referencia con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba, y con origen de coordenadas a nivel del punto inicial; luego, planteas conservación de la energía mecánica, y queda la ecuación:

EM_i = EM_B, sustituyes las expresiones de las energías mecánicas, y queda.

M*g*y_i + (1/2)*M*v_i² = M*g*y_B + (1/2)*M*v_B², cancelas el término nulo (observa: y_i = 0), y queda:

(1/2)*M*v_i² = M*g*y_B + (1/2)*M*v_B², multiplicas por 2 y divides por M en todos los términos, y queda;

v_i² = 2*g*y_B + v_B², sustituyes la expresión de la ordenada del punto B (presta atención al ángulo que tienes señalado), y queda:

v_i² = 2*g*R*(1 + cos[θ/2]) + v_B², y de aquí despejas:

v_B = √[ v_i² - 2*g*R*(1 + cos[θ/2]) ] (1),

que es la expresión de la rapidez del collarín en el punto B, y observa que su velocidad es perendicular al radio de la circunferencia en dicho punto, con dirección inclinada, y sentido hacia la izquierda y hacia arriba según tu figura.

2°)

Movimiento Parabólico sobre un plano vertical (desde el punto B hasta el punto C), para lo que puedes establecer un sistema de referncia con origen de coordenadas en el punto B, con eje OX horizontal con sentido positivo hacia el punto C, y con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba; luego, planteas la expresión del Alcance de un proyectil de Tiro Oblicuo (o Movimiento Parabólico), y queda (observa que indicamos con α al "angulo de disparo" del collarín cuando este abandona el alambre en el punto B):

A = v_B²*sen(2*α)/g, sustituyes la expresión del alcance (obesrva que el la longitud del segmeno BC), y queda;

2*R*sen[θ/2] = v_B²*sen(2*α)/g, sustituyes la expresión señalad (1) elevada al cuadrado, y queda:

2*R*sen[θ/2] = [ v_i² - 2*g*R*(1 + cos[θ/2]) ] *sen(2*α)/g, reemplazas la expresión del ángulo de disparo (observa: α = θ/2), y queda:

2*R*sen[θ/2] = [ v_i² - 2*g*R*(1 + cos[θ/2]) ] *sen[θ/2]/g, multiplicas por g y divides por sen[θ/2] en ambos miembros, y queda:

2*g*R = v_i² - 2*g*R*(1 + cos[θ/2]),

aquí sumas 2*g*R*(1 + cos[θ/2]) en ambos miembros, extraes factores comunes en el primer miembro, y luego despejas:

2*g*R*(2 + cos[θ/2]) = v_i², 

reemplazas el valor de la expresión trigonométrica (observa: cos[θ/2] = cos[60°] = 1/2), resuelves el coeficiente en el primer miembro, y queda:

5*g*R = vi2, aquí extraes raíz cuadrada positiva en ambos miembros, y luego despejas:

v_i = √(5*g*R), que es la expresión de la velocidad inicial del collarín, 

por lo que puedes concluir que la opción señalada (e) es la respuesta correcta.

Espero haberte ayudado.