Gravitación universal

Vamos con un desarrollo, en el que no aplicamos conceptos relativistas.

Establece un sistema de referencia con origen de coordenadas en el hoyo negro, con eje OX con dirección y sentido positivo hacia la posición de la nave.

a)

Considera un elemento de volumen de la nave, ubicado entre las posiciones: x₁ = 10,0 Km = 10000 m, y x₂ = 10,0 Km + 100 m = 10100 m, a continuación planteas la expresión del campo gravitatorio existente en sus puntos, y queda:

E = -G*M_hn/(10000 + z)², con 0 ≤ z ≤ 100 (en metros,

a continuación, planteas la expresión del diferencial de masa de la nave cilíndrica en función de su densidad de masa, de su área de sección transversal, y del elemento diferencial de longitud, y queda:

dM = δ*A*dz;

luego, planteas la expresión del diferencial de fuerza, y queda:

dF = E*dM, sustituyes expresiones, aocias factores y divisores constantes, y queda:

dF = -(G*M_hn*δ*A) * ( 1/(10000 + z)² )*dz, 

a continuación integras (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow entre z = 0 y z = L = 100 m, y queda:

F = -(G*M_hn*δ*A) * [ -1/(1000 + z) ],

evalúas, y queda:

F = -(G*M_hn*δ*A) * ( -1/1000 + 1/(10000+L) ), 

resuelves el agrupaiento, y queda:

F = -(G*M_hn*δ*A) * ( -L/(1000*(10000+L)),

sustiuyes la expresión de la masa de la nave (observa: M = δ*A*L), reemplazas el valor de la longitud de la nave (L = 100 m), y queda:

F = G*M_hn*M/10100000 (en Newtons), 

reemplazas datos: G = 6,674*10^-11 N*m²/Kg², M_hn = 100*M_s = 1,989*10³² Kg, M = 1000 Kg, resuelves, y queda:

F ≅ 1,314*10¹⁸ N.

Planteas la expresión de la diferencia de los módulos del campo gravitatorio en la nariz de la nave y en su parte trasera, y queda:

ΔE = G*M_hn/10000 - G*M_hn/10100, 

extraes factores comunes, y queda:

ΔE = G*M_hn*(1/10000 - 1/10100), 

resuelves la expresión que tienes en el agrupamiento, resuelves la expresión, y queda:

ΔE = G*M_hn/1010000,

reemplazas datos, expresas al divisor con notación científica, y queda:

ΔE = 6,674*10^-11*1,989*10³²/(1,01*10⁶),

resuelves, y queda:

ΔE ≅ 1,314*10¹⁶ N/Kg.

Espero haberte ayudado.