Mecánica Clásica - Resorte

Hola Olga08!

Te dejo a continuación la solución desarollada del apartado a) del ejercicio. Dejo para ti el apartado b) para que practiques.

Espero haberte ayudado!, un cordial saludo, Abdu 

Observa el diagrama de fuerzas que consigna el colega Abdul en su desarrollo, y observa también nuestra figura, que es la que muestra el colega, más algunas referencias adicionales. Luego, observa que sobre el bloque están aplicadas tres fuerzas, de las que indicamos sus módulos, direcciones, y sentidos:

Peso: P = M*g, vertical, hacia abajo,

Acción normal de la rampa: N, perpendicular a la rampa, hacia arriba,

Rozamiento dinámico de la rampa: fr_d = µ_k*N (1), paralela a la rampa, hacia la izquierda,

a continuación aplicas la Segunda Ley de Newton, y quedan las ecuaciones (aquí presta atención al ángulo de inclinación de la rampa con respecto a la horizontal, observa que sustituimos las expresiones de los módulos de las fuerzas, y observa que consideramos un sistema de referencia cartesiano, con un eje paralelo a la rampa con sentido positivo hacia rriba, y con el otro eje perpendicular a la rampa con sentido positivo hacia arriba):

M*g*senθ - μ_k*N = M*a,

N - M*g*cosθ = 0, de aquí despejas: N = M*g*cosθ (2),

a continuación sustituyes la expresión señalada (2) en la ecuación señalada (1), y queda:

fr_d = μ_k*M*g*cosθ,

que es la expresión del módulo de la fuerza de rozamiento dinámico que la rampa ejerce sobre el bloque,

y queda para ti sustituir la expresión señalada (2) en la primera ecuación, para luego despejar la expresión de la aceleración del bloque hasta que toca el extremo libre del resorte.

Luego, vamos con consideraciones de energía, y observa que consideramos como nivel de referencia al extremo inferior de la rampa:

situación inicial, en la que el bloque está en reposo en el punto A y el resorte está relajado, por lo que solamente tienes energía potencial gravitatoria del bloque, por lo que la energía mecánica incial del sistema bloque-resorte queda expresada:

EM_i = EPg_i = M*g*h = M*g*(d + L)*senθ = M*g*d*senθ + M*g*L*senθ (3);

situación final, en la que el bloque está en reposo en la posición: L - x y el resorte está comprimido, por lo que tienes energía potencial gravitatoria del bloque y energía potencial elástica del resorte, por lo que la energía mecánica final del sistema bloque-resorte queda expresada: 

EM_f = EPg_f + EPe_f = M*g*(L - x)*senθ + (1/2)*k*x² = M*g*L*senθ - M*g*x*senθ + (1/2)*k*x² (4);

luego, planteas la expresión de la variación de energía mecánica del sistema bloque-resorte, y queda:

ΔEM = EM_f - EM_i, sustituyes las expresiones señalada (4) (3), resuelves, y queda:

ΔEM = -M*g*x*senθ + (1/2)*k*x² - M*g*d*senθ,

aquí extraes factores comunes con el primero y el tercer término, y queda:

ΔEM = (1/2)*k*x² - M*g*(d + x)*senθ (5).

Luego, planteas la expresión del trabajo realizado por la fuerza de rozamiento dinámico (observa que esta fuerza es paralela al desplazamiento del bloque, pero tiene su sentido opuesto, y presta atención a la expresión de la distancia recorrida por el bloque sobre la rampa), y queda:

W_frd = -fr_d*(d + x), aquí sustituyes la expresión del módulo de la fuerza de rozamiento dinámico, y queda:

W_frd = -μ_k*M*g*cosθ*(d + x) (6).  

Luego, planteas la ecuación "trabajo-variación de energía mecánica", y queda:

W_frd = ΔEM, sustituyes las expresioens señaladas (6) (5), y queda:

-μ_k*M*g*cosθ*(d + x) = (1/2)*k*x² - M*g*(d + x)*senθ (7).

a)

Observa que si "d" es mucho mayor que "x", entonces puedes considerar la aproximación:

d + x ≅ d (8),

a continuación sustituyes la expresión señalada (8) en la ecuación señalada (7), y queda:

-μ_k*M*g*cosθ*d ≅ (1/2)*k*x² - M*g*d*senθ,

aquí sumas M*g*d*senθ en ambos miembros, a continuación extraes factores comunes en el primer miembro, y queda:

M*g*d*(senθ - μ_k*cosθ) ≅ (1/2)*k*x²,

aquí multiplicas por 2 y divides por k en ambos miembros, seguidamente extraes raíz cuadrada positiva en ambos miembros, y a continuación despejas:

x ≅ √[2*M*g*d*(senθ - μ_k*cosθ)/k],

que es una expresión análoga a la que consigna el colega Abdul en su desarrollo, pero ahora hemos tomado en cuenta la presencia de la fuerza de rozamiento dinámico que la rampa ejerce sobre el bloque mientras éste se desplaza.

b)

Observa que si la compresión del resorte es: x = d/2, entonces puedes considerar la igualdad:

d + x = d + d/2 = 3*d/2 (9),

a continuación sustituyes la expresión señalada (9) y la expresión de la longitud de la compresión del resorte, en la ecuación señalada (7), y queda:

-μ_k*M*g*cosθ*3*d/2 = (1/2)*k*(d/2)² - M*g*3*d/2*senθ, 

resuelves expresiones y coeficientes en todos los términos, y queda:

-(3/2)*μ_k*M*g*cosθ*d = (1/4)*k*d² - (3/2)*M*g*d*senθ

aquí multiplicas por -4, divides por d y ordenas factores en todos los términos, y queda:

6*μ_k*M*g*cosθ = -k*d + 6*M*g*senθ,

aquí divides por 6*M*g*cosθ en todos los términos, simplificas, resuelves coeficientes y aplicas la identidad trigonométrica elemental para la tangente en el último término, y queda:

μ_k = -(1/6)*k*d/(6*M*g*cosθ) + tanθ,

que es la expresión del coeficiente de rozamiento dinámico entre la base del bloque y la rampa, expresado en función de los datos que tienes en tu enunciado.

Espero haberte ayudado.

Muchas gracias a todos, profesores.