Momeno lineal y momento angular con fuerza variable

Establece un sistema de referencia con origen de coordenadas en el punto de partida del cuerpo señalado (1), con eje OX horizontal con sentido positivo hacia la derecha según la figura, con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba, y con sentido de giro positivo antihorario, con respecto a un eje de giros perpendicular al plano de la figura, y observa que empleamos unidades internacionales en todo nuestro desarrollo.

a)

Vamos con un planteo por etapas.

1°)

Para el tramo OB, observa que sobre el cuerpo (2) está en reposo, y que sobre el cuerpo (1) está aplicada una fuerza exterior, por lo que tienes que su cantidad de movimiento lineal no se conserva, y observa también que la recta de acción de dicha fuerza (que es el eje OX) no corta al eje de giros, por lo que tienes que tampoco se conserva su momento cinético, ya que la fuerza exterior ejerce momento angular sobre dicho cuerpo;

luego, planteas la expresión de la variación de la cantidad de movimiento lineal del sistema (observa que el cuerpo (2) está en reposo), y queda:

Δp_OB = M₁*v_1B = 2*v_1B (expresada en Kg*m/s),

a continuación planteas la expresión del impulso lineal aplicado sobre el sistema, y queda:

J_OB = ₀∫^t₁ F(t)*dt = ₀∫² (2t + e^t)*dt = [ t² + e^t ] = (4 + e2) - (0 + 1) = (e² + 3) N*s,

a continuación planteas la ecuación "impulso lineal - variación de cantidad de movimiento lineal", y queda la ecuación:

J_OB = Δp_OB,

aquí sustituyes expresiones, y a continuación despejas:

v_1B = 0,5(e² + 3) m/s ≅ 5,196 m/s;

luego, planteas las expresiones de la variación del momento cinético del sistema, y del impulso angular aplicado sobre el mismo (observa que la dirección de desplazamiento del cuerpo (1) no varía), y queda:

ΔL_OB^A = d*Δp_OB = 2,5*(e² + 3) Kg*m²/s ≅ 25,973 Kg*m²/s,

ΔK_OB^A = d_*J_OB = 2,5*(e² + 3) N*m*s.

2°)

Para el tramo BC (hasta el instante inmediatamente anterior al choque de los cuerpos), observa que el cuerpo (2) está en reposo, y que sobre el cuerpo (1) no están aplicadas fuerzas externas y, por lo tanto, tampoco están aplicados momentos de fuerza externos, por lo que tienes que la cantidad de movimiento lineal del sistema, y también su momento cinético, se conservan, y tienes que la velocidad del cuerpo (1), su cantidad de movimiento lineal, y su momento cinético, justo antes del choque quedab expresados:

v_a = v_1B = 0,5(e² + 3) m/s ≅ 5,196 m/s,

L_1a^A = L_OB^A = 2,5(e² + 3) Kg*m²/s ≅ 25,973 Kg*m²/s,

K_1a^A = K_OB^A = 2,5(e² + 3) N*m*s ≅ 25,973 N*m*s.

3°)

Para el choque, observa que durante el mismo no están aplicadas fuerzas externas sobre el sistema, por lo que tienes que su cantidad de movimiento lineal y su momento cinético se conservan, a continuación planteas conservación de la cantidad de movmiento lineal del sistema (recuerda que el cuerpo (2) se encuentra en reposo antes del choque), y queda la ecuación:

M₁*v_a = M₁*v_1f + M₂*v_2f,

aquí reemplazas los valores de las masas de los cuerpos, reemplazas el valor de la velocidad del cuerpo (1) antes del choque, reemplazas el valor de la velocidad del cuerpo (2) después del choque, resuelves la expresión en el primer miembro y en el último término, y queda:

e² + 3 = 2*v_1f + 8, 

y de aquí despejas:

v_1f = 0,5(e² - 5) m/s ≅ 1,195 m/s.

c)

Planteas las expresiones de la energía cinética de traslación del sistema antes y después del choque, y queda:

ECt_a = (1/2)*M₁*v_a² = (1/2)*2*[0,5(e² + 3)]² = 0,25(e² + 3)² = 0,25e⁴ + 1,5e² + 2,25 J

ECt_f = (1/2)*M₁*v_1f² + (1/2)*M₂*v_2f² = (1/2)*2*[0,5(e² - 5)]² + (1/2)*4*2² = 0,25(e² - 5)² + 8 J = 0,25e⁴ - 2,5e² + 14,25 J,

a continuación planteas la expresión de la variación de energía cinética de traslación del sistema debida al choque de los cuerpos, reemplazas expresiones, resuelves, y queda:

ΔECt = ECt_f - ECt_a = -4e² + 12 J ≅ -17,556 J,

a continuación planteas la expresión de la variación porcentual de energía cinética de traslación del sistema debida al choque, reemplazas valores, resuelves, y queda:

ΔECt_p = 100*ΔECt/ECt_a = 100*(-4e² + 12 )/[0,25(e² + 3)²] ≅ -65,064 %,

cuyo signo negativo te indica que el sistema ha cedido energía al ambiente, en forma de calor.

Por último, observa que en todo este desarrollo hemos considerado que la superficie sobre la que se desplazan los cuerpos es lisa.

Espero haberte ayudado.