Byron A
Una partícula con MCUV se mueve el plano xy, en el sentido del avance de las manecillas del reloj. Al instante t=0s su posicion es ro=-3i-4j m y su aceleración es ao=8i+3j m/s2. Determine la aceleración de la particula a t=2s
Tienes los datos iniciales:
r(0) = < -3 ; -4 > m (posición inicial), cuyo módulo es: |r(0)| = 5 m;
a(0) = < 8 ; 3 > m/s2 (aceleración), cuyo módulo es: |a(0)| = √(73) m/s2.
Luego, observa que el radio de la trayectoria circunferencial queda expresado: R = |r(0)| = 5 m,
y que la tangente de la posición angular inicial de la partícula queda expresada:
tan[θ(0)] = ry(0)/rx(0) = -4/(-3) = 4/3,
aquí compones con la función inversa de la tangente, y queda (observa que la posició angular inicial corresponde al tercer cuadrante):
θ(0) ≅ 0,927 - π ≅ -2,214 rad.
Luego, planteas la expresión de un vector tangente a la trayectoria en el punto inicial (observa que su dirección y sentido es "hacia la izquierda y hacia arriba", ya que el punto inicial pertenece al tercer cuadrante), por ejemplo:
u(0) = < -4 ; 3 >, cuyo módulo es: |u(0)| = 5, y cuyo vector unitario asociado es: U(0) = u(0)/|u(0)| = < -4/5 ; 3/5 >, que es el vector tangente unitario a la trayectoria en el punto inicial.
Luego, planteas las expresión vectorial de la componente tangencial de la aceleración en el instante inicial, y queda:
aT(0) = [a(0)•U(0)]*U(0) = [< 8 ; 3 >•< -4/5 ; 3/5 >]*< -4/5 ; 3/5 >, resuelves el producto escalar, y queda:
aT(0) = -(23/5)*< -4/5 ; 3/5 > m/s2, cuyo módulo es:
|aT(0)| = 23/5 m/s2, y observa que este es el módulo de la componente tangencial de la aceleración de la partícula en todo instante;
luego, planteas la expresión de la aceleración angular (recuerda que es constante para MCUV), y queda:
α = |aT(0)|/R = (23/5)/5 = 23/25 rad/s2.
Luego, planteas la expresión vectorial de la componente radial de la aceleración en el instante inicial (recuerda que es paralela y con sentido opuesto al vector posición inicial, cuyo vector unitario asociado es: R(0) = r(0)/|r(0)| = < -3 ; -4 >/5 = < -3/5 ; -4/5 >), y queda:
aR(0) = [a(0)•R(0)]*R(0) = [< 8 ; 3 >•< -3/5 ; -4/5 >]*< -3/5 ; -4/5 >, resuelves el producto escalar, y queda:
aR(0) = -(36/5)*< -3/5 ; -4/5 > = (36/5)*< 3/5 ; 4/5 > m/s2 (observa que este vector es paralelo con sentido opuesto al vector posición inicial),
cuyo módulo es: |aR(0)| = 36/5 m/s2;
luego, planteas la expresión de la rapidez angular inicial de la partícula, en función del módulo de su aceleración radial inicial y del radio de la trayectoria, y queda:
ω(0) = √[|aR(0)|/R] = √[(36/5)/5] = 6/5 rad/s.
Luego, planteas la expresión de la velocidad angular de la partícula en función del tiempo de MCUV, y queda:
ω(t) = ω(0) + α*t,
aquí reemplazas valores (obseva que la partícula gira con sentido horario, o sea: negativo, por lo que asignamos signos negativos a la velocidad angular inicial y a la aceleración angular de la partícula), y queda:
ω(t) = -(6/5) - (23/25)*t,
a continuación, evalúas esta expresión para el instante en estudio: t = 2 s, y queda:
ω(2) = -6/5 - 46/25 = -76/25 rad/s,
cuyo módulo es:
|ω(2)| = 76/25 rad/s,
a continuación planteas la expresión del módulo de la componente radial de la aceleración en el instante en estudio: t = 2 s, y queda:
|aR(2)| = R*|ω(2)|2 = 5*(76/25)2 = 5776/125 m/s2,
y la expresión correspondiente del módulo de la aceleración tangencial de la partícula en todo instante es:
|aT| = R*α = 5*(23/25) = 23/5 m/s2,
a continuación planteas la expresión del módulo de la aceleración de la partícula en el instante en estudio: t = 2 s, y queda:
|a(2)| = √(|aR(2)|2 + |aT|2), reemplazas valores, resuelves, y queda:
|a(2)| ≅ 46,436 m/s2.
Luego, planteas la expresión de la posición angular de la partícula en función del tiempo de MCUV, y queda:
θ(t) = θ(0) + ω(0)*t + (1/2)*α*t2,
aquí reemplazas valores (obseva que la partícula gira con sentido horario, o sea: negativo, por lo que asignamos signos negativos a la velocidad angular inicial y a la aceleración angular de la partícula), y queda:
θ(t) ≅ -2,214 - (6/5)*t + (1/2)*(-23/25)*t2,
a continuación, evalúas esta expresión para el instante en estudio: t = 2 s, y queda:
θ(2) ≅ -2,214 - (6/5)*2 - (1/2)*(-23/25)*22 ≅ -2,774 rad;
luego, planteas la expresión vectorial de la posición de la partícula en el instante en estudio, y queda;
r(2) = < R*cos[θ(2)] ; R*sen[θ(2)] ≅ < 5*cos(-2,774) ; 5*sen(-2,774) > ≅ < -4,666 ; -1,797 > m (observa que este vector se encuentra en el tercer cuadrante), cuyo módulo tiene la expresión (recuerda que esta expresión es igual al radio de la trayectoria): |r(2)| = 5 m, y cuyo vector unitario asociado es: R(2) = r(2)/|r(2)| ≅ < -4,666 ; -1,797 >/5 ≅ < -0,933 ; -0,359 >,
a continuación planteas la expresión vectorial de la componente radial de la aceleración de la partícula en el instante en estudio (recuerda que es paralela y con sentido opuesto al vector posición correspondiente), y queda:
aR(2) = |aR(2)|*[-R(2)] ≅ (5776/125)*< 0,933 ; 0,359 > ≅ < 43,112 ; 16,589 > m/s2;
luego, planteas la expresión del vector unitario tangente a la trayectoria en el instante en estudio (observa que su dirección y sentido es "hacia la izquierda y hacia arriba", ya que el punto en el que se encuentra la partícula pertenece al tercer cuadrante), por ejemplo:
U(2) ≅ < -0,359 ; 0,933 > (recuerda que puedes comprobar que este vector es unitario y perpendicular al vector unitario: R(2) ≅ < -0,933 ; -0,359 >, si haces el producto escalar de estos dos vectores),
a contnuación planteas la expresión vectorial de la componente tangencial dela aceleración de la partícula en el instante en estudio, y queda:
aT(2) = |aT|*U(2) ≅ (23/5)*< -0,359 ; 0,933 > ≅ < -1,651 ; 4,292 > m/s2;
luego, planteas la expresión vectorial de la aceleración de la partícula en el instante en estudio, y queda:
a(2) = aR(2) + aT(2),
reemplazas expresiones vectoriales, resuelves, y queda:
a(2) ≅ < 41,461 ; 20,881 > m/s2.
Espero haberte ayudado.