Movimiento Vertical

Establece un sistema de referencia con origen de coordenadas en el fondo del pozo, y con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba:

Luego, vamos por etapas (observa que consideramos que el instante inicial en ambas etapas es igual a cero).

1°)

Caída del cuerpo: aquí tienes los datos: t_i = 0, y_i = h (a determinar), v_i = 0, a = -g = -10 m/s², a continuación planteas la eucación de posición de Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (y = y_i + v_i*t + [1/2]*a*t²), sustituyes datos, resuelves coeficientes, cancelas el término nulo, y queda:

y = h - 5*t² (1),

a continuación planteas la condición de llegada del cuerpo al fondo del pozo, y queda la ecuación:

y = 0, sustituyes la expresión señalada (1), y queda:

h - 5*t² = 0, y de aquí despejas:

t_c = √(h/5) (2),

que es la expresión del instante en el que el cuerpo llega al fondo del pozo, en función de la profunidad del mismo.

2°)

Ascenso de la señal sonora del choque del cuerpo contra el fondo del pozo: aquí tienes dos datos: t_i = 0, y_i = 0, v = 340 m/s, a continuación planteas la ecuación de posición de Movimiento Rectilíneo Uniforme (y = y_i + v*t), reemplazas datos, cancelas el término nulo, y queda:

y = 340*t (3),

a continuación planteas la condición de llegada de la señal sonora a la boca del pozo, y queda la ecuación:

y = h, sustituyes la expresión señalada (3), y queda:

340*t = h, y de aquí despejas:

t_a = h/340 (4),

que es la expresión del instante en el que la señal sonora llega a la boca del pozo, en función de la profundidad del mismo.

Luego, como hemos considerado que en ambas etapas los instantes iniciales son iguales a cero, entonces tienes que los intervalos de tiempo correspondientes quedan expresados:

Δt_c = √(h/5),

Δt_a = h/340;

luego, plantas la expresión del intervalo de tiempo total desde el inicio de la caída del cuerpo hasta la llegada de la señal sonora a la boca del pozo, y queda la ecuación:

Δt_c + Δt_a = Δt, 

aquí sustituyes expresiones (observa que tienes en tu enunciado que el intervalo de tiempo total es: Δt = 51 s), y queda:

√(h/5) + h/340 = 51 (5), 

multiplicas por 340 en todos los términos, y queda:

340*√(h/5) + h = 17340, restas h en ambos miembros, y queda:

340*√(h/5) = 17340 - h, elevas al cuadrado en ambos miembros, y queda:

[340*√(h/5)]² = [17340 - h]²,   

distribuyes la potencia y simplificas en el primer miembro, desarrollas el binomio elevado al cuadrado en el segundo miembro, y queda:

23120*h = 300675600 - 34680*h + h², 

restas h², sumas 34680 y restas 300675600 en ambos miembros, reduces términos semejantes, y queda:

-h² + 57800*h - 300675600 = 0, multiplicas por -1 en todos los términos, y queda:

h² - 57800*h + 300675600 = 0,

que es una ecuación polinómica cuadrática, cuyas soluciones son:

a)

h = (57800 - 46240)/2 = 5780 m,

a fin de verificar, reemplazs este valor en la ecuación señalada (5), resuelves su primer miembro, y queda:

51 = 51,

que es una Igualdad Verdadera, por lo que tienes que esta solución es válida, y la profundidad del pozo queda expresada:

h = 5780 m,

b)

h = (57800 + 46240)/2 = 52020 m,

a fin de verificar, reemplazs este valor en la ecuación señalada (5), resuelves su primer miembro, y queda: 

255 = 51,

que es una Igualdad Falsa, por lo que tienes que esta opción no es válida.

Espero haberte ayudado.