Daff
Hola, queria saber si me podrian indicar al menos que ecuaciones usar en la parte b y c, la a la pude hacer sin problema pero en las dos ultimas no estoy segura que ecuacion usar para averiguarlo
Cuatro objetos homogéneos, un aro, un cilindro sólido, una esfera
sólida y una cáscara esférica delgada tienen una masa de 4,80 kg y un
radio de 0,230 m cada uno.
a) Encuentre el momento de inercia para cada objeto cuando rota sobre los ejes que pasan por su centro de
gravedad.
b) Suponga que cada objeto está rodado hacia abajo de una rampa. Ordene la rapidez de traslación de cada
objeto de la más alta a la más baja.
c) Ordene las energías cinéticas rotatorias de los objetos de mayor a menor cuando los objetos ruedan
hacia abajo en la rampa
Hola Daff!
Apartado b)
Como el momento de inercia es la medida de rotación de un cuerpo, a mayor momento de inercia, mayor es velocidad con la que el objeto desciente sobre el plano inclinado, así pues, los objetos descenderán en este orden:
1º Aro, 2º Esfera y la cáscara esférica, 3º Cilíndro sólido (ver imagen 1 adjunta).
Apartado c)
Como acabamos de ver, a mayor momento de inercia, mayor es su rapidez y por tanto, mayor es su inergía cinética (ver imagen 2 adjunta). Así pues, las energías cinéticas tendrán el mismo orden que el apartado anterior.
Espero haberte ayudado, un saludo!, Abdul.😀
Ayy muchas graciass
Establece un sistema de referencia con origen de coordenadas a nivel del punto en estudio sobre la rampa, y con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba, y designa con "h" a la altura inicial del objeto rodante, con respecto al punto en estudio sobre la rampa.
Luego, si consideras que el objeto rodante parte desde el reposo, entonces tienes que su energía mecánica inicial es solamente energía potencial gravitatoria, y su expresión es:
EMi = EPgi = M*g*h.
Luego, considera la situación en estudio, en la que el objeto rueda, se traslada y se encuentra en el origen de coordenadas, por lo que su energía mecánica es solamente energía cinética de traslación y energía cinética de rotación, y su expresión queda:
EM = (1/2)*M*v2 + (1/2)*I*ω2.
Luego, planteas conservación de la energía mecánica, y queda la ecuación:
EM = EMi,
aquí sustituyes expresiones, y queda:
(1/2)*M*v2 + (1/2)*I*ω2 = M*g*h,
aquí multiplicas por 2 en todos los términos, y queda:
M*v2 + I*ω2 = 2*M*g*h,
aquí observa que todas las expresiones de los momentos de inercia de los objetos rodantes tienen la forma: I = k*M*R2, por lo que sustituyes esta expresión en la ecuación, y queda:
M*v2 + k*M*R2*ω2 = 2*M*g*h, divides por M en todos los términos, y queda:
v2 + k*R2*ω2 = 2*g*h (1),
y observa qu en esta ecuación tienes la relación que vincula a la rapidez angular del objeto rodante con su rapidez tangencial, en la situación en estudio.
b)
Sustituyes la expresión de la rapidez angular en función de la rapidez tangencial y del radio del objeto rodante: ω = v/R en la ecuación señalada (1), simplificas y resuelves la expresión en su segundo término, y queda:
v2 + k*v2 = 2*g*h, extraes factor común en el primer miembro, y queda:
(1 + k)*v2 = 2*g*h (2);
luego, sustituyes el valor del coeficiente "k" para cada objeto rodante en estudio, y queda:
1)
(1 + 1)*v2 = 2*g*h, y de aquí despejas: v1 = √(1*g*h), que es el valor de la rapidez lineal del aro,
2)
(1 + 1/2)*v2 = 2*g*h, y de aquí despejas: v2 = √([4/3]*g*h) ≅ √(1,333*g*h), que es el valor de la rapidez lineal del cilindro macizo,
3)
(1 + 2/5)*v2 = 2*g*h, y de aquí despejas: v3 = √([10/7]*g*h) ≅ √(1,429*g*h), que es el valor de la rapidez lineal de la esfera maciza,
4)
(1 + 2/3)*v2 = 2*g*h, y de aquí despejas: v4 = √([6/5]*g*h) ≅ √(1,2*g*h), que es el valor de la rapidez lineal de la esfera hueca delgada,
y observa que el orden de mayor a menor de estas rapideces lineales queda: (3) (2) (4) (1).
c)
Planteas la expresión de la energía cinética de rotación del objeto rodante, y queda:
ECr = (1/2)*I*ω2,
sustituyes la expresión general del momento de inercia: I = k*M*R2, sustituyes la expresión de la rapidez angular en función de la rapidez lineal y del radio del objeto rodante, resuelves, simplificas, y queda:
ECr = (1/2)*k*M*v2 (3);
luego, sustituyes el valor del coeficiente "k" para cada objeto rodante en estudio, sustituyes la expresión de su rapidez lineal que ya tienes determinada en el inciso anterior, y queda:
1)
ECr1 = (1/2)*1*M*√(1*g*h) = M*√([1/4]*g*h) = M*√(0,25*g*h), que es el valor de la energía cinética de rotación del aro,
2)
ECr2 = (1/2)*(1/2)*M*√([4/3]*g*h) = M*√([1/12]*g*h) ≅ M*√(0,083*g*h), que es el valor de la energía cinética de rotación del cilindro macizo,
3)
ECr3 = (1/2)*(2/5)*M*√([10/7]*g*h) = M*√([2/35]*g*h) ≅ M*√(0,057*g*h), que es el valor de la energía cinética de rotación de la esfera maciza,
4)
ECr4 = (1/2)*(2/3)*M*√([6/5]*g*h) = M*√([2/15]*g*h) ≅ M*√(0,133*g*h), que es el valor de la energía cinética de rotación de la esfera maciza,
y observa que el orden de mayor a menor de estas rapideces lineales queda: (1) (4) (2) (3).
Espero haberte ayudado.
Corregimos omisiones.
c)
Planteas la expresión de la energía cinética de rotación del objeto rodante, y queda:
ECr = (1/2)*I*ω2,
sustituyes la expresión general del momento de inercia: I = k*M*R2, sustituyes la expresión de la rapidez angular en función de la rapidez lineal y del radio del objeto rodante, resuelves, simplificas, y queda:
ECr = (1/2)*k*M*v2 (3);
luego, sustituyes el valor del coeficiente "k" para cada objeto rodante en estudio, sustituyes la expresión de su rapidez lineal que ya tienes determinada en el inciso anterior, y queda:
1)
ECr1 = (1/2)*1*M*[√(1*g*h)]2 = (1/2)*M*1*g*h = 0,5*M*g*h, que es el valor de la energía cinética de rotación del aro,
2)
ECr2 = (1/2)*(1/2)*M*[√([4/3]*g*h)]2 = (1/4)*M*[4/3]*g*h = (1/3)*M*g*h ≅ 0,333*M*g*h, que es el valor de la energía cinética de rotación del cilindro macizo,
3)
ECr3 = (1/2)*(2/5)*M*[√([10/7]*g*h)]2 = (1/5)*M*[10/7]*g*h = (2/7)*M*g*h ≅ 0,285*M*g*h, que es el valor de la energía cinética de rotación de la esfera maciza,
4)
ECr4 = (1/2)*(2/3)*M*[√([6/5]*g*h)]2 = (1/3)*M*[6/5]*g*h = (2/5)*M*g*h = 0,4*M*g*h, que es el valor de la energía cinética de rotación de la esfera maciza,
y observa que el orden de mayor a menor de estas rapideces lineales queda: (1) (4) (2) (3).
Por favor, descarta el desarrollo inmediato anterior.
Espero haberte ayudado.