ARANTXA
Alrededor de un eje vertical, y en su mismo plano, gira un tubo inclinado, hueco y de diámetro despreciable. El extremo superior del tubo dista del eje d1=7 cm y el inferior, que es su punto más próximo al eje, d2=1cm. En el interior del tubo se encuentra una esferita (que consideramos puntual) que puede deslizarse sin rozamiento.
a) Calcule la velocidad con que debe girar para que la esferita permanezca en equilibrio en el punto medio del tubo.
b) Calcule el momento de inercia y la energía cinética de la esferita.
Datos: Longitud del tubo L = √72 cm. Masa de la esferita m= 30 g
Vamos con una orientación.
Observa la figura, en la que tienes descrita la situación en estudio, con algunas referencia adicionales.
Considera el triángulo rectángulo ASB, y que con él puedes plantear la ecuación:
senθ = |SB|/|AB| = (d1 - d2)/L = (7 - 1)/√(72) = 6/[6√(2)] = 1/√(2),
y ahora compones con la función inversa del seno, y queda:
θ = 45°,
que es la medida del ángulo de inclinación del tubo, con respecto al eje de giros vertical E.
Considera el triángulo rectángulo ARO, y con él puedes plantear la ecuación:
senθ = |RO|/|AO| = |RO|/(L/2),
y ahora despejas:
|RO| = [L/2]*senθ = [√(72)/2]sen(45°) = [6√(2)/2]*[1/√(2)] = 3 cm,
a continuación planteas la expresión de la longitud del eje de giros, y queda:
r = |VR| + |RO| = d2 + |RO| = 1 + 3 = 4 cm = 0,4 m.
a)
Aplicas la Segunda Ley de Newton para la esferita (observa que sobre ella están aplicadas dos fuerzas: su Peso, y la Acción normal de la superficie del tubo sobre la que está apoyada), y quedan las ecuaciones:
N*cosθ = M*acp, y de aquí despejas: N = M*acp/cosθ (1),
N*senθ = P,
ahora sustituyes la expresión señalada (1) en la segunda ecuación, sustituyes la expresión del módulo del peso de la esferita, y queda:
(M*acp/cosθ)*senθ = M*g,
y de aquí despejas:
acp = g/tanθ = 10/tan(45°) = 10 m/s2,
que es el valor del módulo de la aceleración centrípeta de la esferita,
a continuación planteas la expresión del módulo de la aceleración centrípeta en función de su rapidez angular y del radio de giro, y queda:
acp = r*ω2,
y de aquí despejas:
ω = √(acp/r) = √(10/0,4) = √(25) = 5 rad/s,
ahora planteas la expresión de la rapidez tangencial de la esferita, y queda:
v = r*ω = 0,4*5 = 2 m/s.
b)
Planteas la expresión del momento de inercia de la esferita con respecto al eje de giros, y queda:
I = M*r2 = 0,030*0,42 = 0,0048 Kg*m2.
Planteas la expresión de la energía cinética de rotación de la esferita alrededor del eje de giros (observa que la esferita no gira con respecto a un eje que pase por su centro de masas), y queda:
EC = (1/2)*I*ω2 = (1/2)*0,0048*52 = 0,06 J,
y observa que este valor coincide con la expresión de su energía cinética de traslacion orbital alrededor del eje de giros:
EC = (1/2)*M*v2 = (1/2)*0,030*22 = 0,06 J.
Espero haberte ayudado.