Ismael
Una atracción de feria está constituida por una pista que tiene un bucle como el de la figura. Suponiendo que no hay rozamiento: ¿Qué velocidad debe tener el coche en el punto más alto del bucle para que no se desprenda? ¿ Desde que altura mínima (tomando como unidad el radio) debe caer el coche para que complete el rizo?
Connsidera un sistema de referencia con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba, y con origen de coordenadas a nivel del punto más bajo del bucle, y observa que consideramos que el auto comienza a descender sobre la rampa partiendo desde el reposo.
Luego, planteas la expresión de su energía mecánica inicial (observa que es solamente energía potencial gravitatoria), y queda:
EMi = EPi = M*g*yi (1).
Luego, planteas la expresión de su energía mecánica final (cuando alcanza el punto más alto del bucle), y queda:
EMf = EPf + ECf = M*g*(2*R) + (1/2)*M*vf2 = 2*M*g*R + (1/2)*M*vf2 (2).
Luego, planteas conservación de la energía mecánica (observa que no tienes rozamientos), y queda la ecuacion:
EMi = EMf, sustituyes las expresiones señaladas (2) (1), y queda:
M*g*yi = 2*M*g*R + (1/2)*M*vf2, divides por M en todos los términos, y queda:
g*yi = 2*g*R + (1/2)*vf2 (3).
Luego, planteas la situación crítica: el coche alcanza a pasar "justo" por el punto más alto del bucle (aquí consideras que el coche "apenas" se desprende del bucle, por lo que la acción normal que el bucle ejerce sobre el coche es nula), aplicas la Segunda Ley de Newton (observa que aquí considramos un eje OY vertical, con sentido positivo hacia abajo, hacia el centro del bucle, y que la única fuerza aplicada sobre el auto es su peso), y queda la ecuación:
M*g = M*acp, divides por M en ambos miembros, sustituyes la expresión del módulo de la aceleración centrípeta, y queda:
g = vf2/R, multiplicaa por R en ambos miembros, y luego despejas:
vf2 = g*R (4), extraes raíz cuadrada positiva en ambos miembros, y queda:
vf = √(g*R),
que es la expresión de la rapidez del auto cuando se encuentra en el punto más alto del bucle;
luego, sustituyes la expresión señalada (4) en el último término de la ecuación señalada (3), y queda:
g*yi = 2*g*R + (1/2)*g*R, divides por g en todos los términos, reduces términos semejantes, y queda:
yi = (5/2)*R,
que es la expresión de la altura inicial mínima desde donde el auto debe empezar a descender por la rampa para alcanzar el punto más alto del bucle.
Luego, queda para ti reemplazar valores en las expresiones remarcadas y hacer los cálculos.
Espero haberte ayudado.