Algebra ejercicio

Hola Jorge!

Apartado a)

Una vez que tengas la ecuación del plano en formula general ( la ecuación que has despejado antes) tienes que sacar el vector nomal al plano ( ver imagen adjunta), después, tienes que hallar a partir de este vector normal el vector director al plano ( vector cotenido en el plano). Finalmente, como te dice que la recta y el plano son paralelos, el vector directror de la recta que es (1,2,1), ha de ser proporcional al vector director del plano que acabas de hallar.

Apartado b)

Para este apartado, lo que tienes que hacer es aplicar simplemente la fórmula de distancia entre una recta y un plano ( te la dejo en la imagen 2 a continuación).

Espero haberte ayudado, un saludo!, Abdul 😀

Tienes una ecuación vectorial paramétrica del plano, y a partir de ella tienes que los vectores: p = < 0 ; 3 ; 1 > y q = < α ; 0 ; 2 > son paralelos al mismo, por lo que puedes plantear que un vector normal al plano es el producto vectorial entre estos dos vectores, y queda (te dejamos los cálculos a ti):

n = p x q = < 6 ; α ; -3α >.

Tienes ecuaciones cartesianas simétricas (o continuas de la recta), y en los denominadores en sus miembros tienes las componentes de su vector director, cuya expresión es:

u = < 1 ; 2 ; 1 >,

y en los términos independientes en los numeradores tienes las expresiones de los opuestos de las coordenadas de un punto perteneciente a la recta, cuya expresión es:

A(1;0;0).

a)

Planteas la condición de paralelismo entre una recta y un plano (el vector director de la recta es perpendicular al vector normal al plano), y queda la ecuación vectorial:

u • v = 0, aquí sustituyes las expresiones de los vectores, y queda:

< 1 ; 2 ; 1 > • < 6 ; α ; -3α > = 0, desarrolas el producto escalar, y queda la ecuación:

6 + 2α - 3α = 0, reduces términos semejantes, y queda:

6 - α = 0, y de aquí despejas:

α = 6.

b)

Observa que a partir de la ecuación vectorial paramétrica del plano tienes que el punto cuya expresión es: B(2;0;1) pertenece al mismo, a continuación, con las coordenadas de este punto y con las componentes del vector normal al plano, planteas una ecuación cartesiana implícita del plano, y quea:

6*(x - 2) + α*(y - 0) - 3α*(z - 1) = 0,

reemplazas el valor del coeficiente "α" que tienes calculado, resuelves coeficienes, cancelas términos nulos, y queda:

6*(x - 2) + 6*y - 18*(z - 1) = 0,

distribuyes en el primero y en el tercer término, reduces términos semejantes, y queda:

6*x + 6*y - 18*z + 6 = 0,

aquí divides por 6 en todos los términos de esta ecuación, y queda:

x + y - 3*z + 1 = 0,

a continuación, queda para ti calcular la distancia entre el punto A (que pertenece a la recta en estudio), y el plano, con la expresión análoga a la que te indica el colega Abdul, que para el caso de un plano y un punto que no pertenece al mismo, queda expresada:

d = | (a*x_A + b*x_A + c*z_A + d)/√(a² + b² + c²) |,

aquí reemplazas los valores de las coordenadas del punto A que pertenece a la recta en estudio:

x_A = 1, y_A = 0, z_A = 0,

reemplazas los valores de los coejficintes de la última ecuación cartesiana del plano que tienes remarcada:

a = 1, b = 1, c = -3, d = 1,

resuelves, y queda:

d = | 2/√(11) |.

Espero haberte ayudado.