Yaser
Me gustaría saber cómo es esta integral por el método de sustitución. Paso a paso, por favor. Gracias.
Tienes tu integral indefinida:
∫ ( x² + 1/(3*x)² )*dx =
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Planteo auxiliar.
Observa que puedes plantear la sustitución (o cambio de variable):
w = 3*x,
a continuación diferencias en ambos miembros, y queda:
dw = 3*dx,
y de aquí despejas:
dx = (1/3)*dw,
y ahora, a partir de la primera ecuación, despejas:
x = (1/3)*w
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
luego, sustituyes expresiones, y tu integral indefinida queda:
= ∫ ( [(1/3)*w]² + 1/w² )*(1/3)*dw =
a continuación extraes el coeficiente, y queda:
= (1/3)* ∫ ( [(1/3)*w]² + 1/w² )*dw =
aquí distribuyes la potencia y resuelves el coeficiente en el primer término en el agrupamiento, aplicas la propiedad de las potencias con exponentes negativos en el segundo térmiono, y queda:
= (1/3)* ∫ ( (1/9)*w² + w-2 )*dw =
ahora integras (recuerda: ∫ w²*dw = w3/3 = (1/3)*w³, e ∫ w-2*dw = w-1/(-1) = -w-1), y queda:
= (1/3)* ( (1/9)*(1/3)*w³ + (-w-1) ) + C =
a continuación resuelves el coeficiente en el primer término en el agrupamiento, resuelves el signo en su segundo término, y queda:
= (1/3)* ( (1/27)*w³ - w-1 ) + C =
aquí distribuyes el factor común, y queda:
= (1/81)*w³ - (1/3)*w-1 + C =
ahora sustituyes la expresión de la variable auxiliar "w", y queda:
= (1/81)*(3*x)³ + (1/3)*(3*x)-1 + C =
a continuación resuelves la potencia en el primer término, aplicas la propiedad de las potencias con exponentes negativos en el segundo término, y quea:
= (1/81)*(27*x³) + (1/3)*( 1/(3x) ) + C =
aquí resuelves coeficientes en ambos términos, y queda:
= (1/3)*x³ + (1/9)*(1/x) + C.
Espero haberte ayudado.