Yaser
No sé empezar estos ejercicios. Gracias.
Determina la imagen del conjunto dado bajo la composición dada de una función lineal con la función potencia cuadrada.
1)
Tienes la expresión de la función, que resulta ser la composición de otras dos funciones:
w₁ = f₁(z) = 2*z²,
w = f₂(w₁) = w₁ + 1 - i,
y tienes el conunto en estudio, cuya representación es un "rayo" incluido en el primer cuadrante, que queda descrito por la ecuación:
θ = π/3,
a continuación planteas la expresión general de los números que conforman este conjunto, y queda:
z = |z|θ = |z|π/3,
aquí evalúas la expresión de la primera función para esta expresión, y queda:
w₁ = 2*(|z|π/3)²,
ahora aplicas Primera Fórmula de De Moivre (recuerda: debes elevar el módulo y multiplicar el argumento, con el exponente de la potencia), y queda:
w₁ = 2*|z|²2π/3,
a continuación expresas al primer factor en forma polar (observa que se trata de un número real positivo), y queda:
w₁ = 20*|z|²2π/3,
aquí resuelves (recuerda: debes multiplicar los módulos y sumar los argumentos), y queda:
w₁ = (2*|z|²)0+2π/3,
ahora cancelas el término nulo en el argumento, y queda:
w₁ = (2*|z|²)2π/3,
que es la expresión general de los números que pertenecen a la imagen del conjunto en estudio, para la primera función, expresada en forma polar,
a continuación expresas en forma trigonométrica, y queda:
w₁ = 2*|z|²*(cos(2π/3) + i*sen(2π/3)),
aquí reemplazas los valores exactos de las expresiones trigonométricas, y queda:
w₁ = 2*|z|²*(-1/2 + i*√(3)/2),
ahora sustituyes la expresión en el segundo factor (recuerda: |z|² = (√(x² + y²))² = x² + y²), y queda:
w₁ = 2*(x² + y²)*(-1/2 + i*√(3)/2),
a continuación distribuyes, simplficas, y queda:
w₁ = -(x² + y²) + √(3)*(x² + y²)*i (1),
que es la expresión general de los núemeros que pertenecen a la imagne del conunto en estudio en forma binómica, para la primera función,
aquí evalúas la expresión de la segunda función para esta expresión, y queda:
w = w₁ + 1 - i,
ahora sustituyes la expresión señalada (1), y queda:
w = -(x² + y²) + √(3)*(x² + y²)*i + 1 - i,
a continuación ordenas términos, y queda:
w = 1 - (x² + y²) + √(3)*(x² + y²)*i - i,
aquí asocias términos reales, extraes factor común i con los términos imaginarios, y queda:
w = (1 - (x² + y²)) + (√(3)*(x² + y²) - 1)*i,
que es la expresión general de la imagen del conjunto en estudio para la función compuesta, expresada en forma binómica.
2)
Tienes la expresión de la función, que resulta ser la composición de otras dos funciones:
w₁ = f₁(z) = √(2)*z²,
w = f₂(w₁) = w₁ + 2 - i,
y tienes el conunto en estudio, cuya representación es un segmento (observa que está incluido en el segundo cuadrante), cuyo primer número es zA = 0, y cuyo último número es: zB = -1 + i,
a continuación planteas una parametrización general para este segmento, y queda:
z = zA + (zB - zA)*t, con: 0 ≤ t ≤ 1,
aquí reemplazas valores, y queda:
z = 0 + (-1 + i - 0)*t,
ahora cancelas términos nulos, y queda:
z = (-1 + i)*t, con: 0 ≤ t ≤ 1,
aquí evalúas la expresión de la primera función para esta expresión, y queda:
w₁ = √(2)*((-1 + i)*t)², con: 0 ≤ t ≤ 1,
ahora distribuyes la potencia con los dos factores que tienes en su argumento, y queda:
w₁ = √(2)*(-1 + i)²*t²,
a continuación resuelves el segundo factor (recuerda: (-1 + i)² = (-1)² - 2*1*i + i² = 1 - 2*i + (-1) = -2*i), y queda:
w₁ = √(2)*(-2*i)²*t²,
aquí resuelves, ordenas factores, y queda:
w₁ = -2*√(2)*t²*i (1), con: 0 ≤ t ≤ 1,
ahora evalúas la expresión de la segunda función para esta expresión, y queda:
w = w₁ + 2 - i,
ahora sustituyes la expresión señalada (1), y queda:
w = --2*√(2)*t²*i + 2 - i,
a continuación ordenas términos, y queda:
w = 2 - 2*√(2)*t²*i - i,
aquí extraes factor común -i con los términos imaginarios, y queda:
w = 2 - (2*√(2)*t² + 1)*i, con: 0 ≤ t ≤ 1,
que es la expresión general parametrizada de la imagen del conjunto en estudio para la función compuesta, expresada en forma binómica.
3)
Tienes la expresión de la función, que resulta ser la composición de otras dos funciones:
w₁ = f₁(z) = i*z²,
w = f₂(w₁) = w₁ - 3,
y tienes el conunto en estudio, que consiste en una recta pralela al eje imaginario, que corta al eje real en el número: z = 2,
a continuación planteas la expresión general de los números pertenecientes a este conjunto, y queda (observa que todos los números tienen parte real x = 2):
z = 2 + y*i,
aquí evalúas la expresión de la primera función para esta expresión, y queda:
w₁ = i*(2 + y*i)²,
ahora desarrollas el binomio elvado al cuadrado (observa que resolvemos su tercer término), y queda:
w₁ = i*(4 + 4*y*i - y²),
a continuación distribuyes, y queda:
w₁ = 4*i + 4*y*i² - y²*i,
aquí resuelves el segundo término (recuerda: i² = -1), y queda:
w₁ = 4*i - 4*y - y²*i,
ahora ordenas términos, extraes factor común i con los términos imaginarios, y queda:
w₁ = -4*y + (4 - y²)*i (1),,
ahora evalúas la expresión de la segunda función para esta expresión, y queda:
w = w₁ - 3,
ahora sustituyes la expresión señalada (1), y queda:
w = -4*y + (4 - y²)*i - 3,
a continuación ordenas términos, y queda:
w = -4*y - 3 + (4 - y²)*i,
aquí extraes factor común -1 con los términos reales, y queda:
w = -(4*y + 3) + (4 - y²)*i,
que es la expresión general de los números pertenecientes a la imagen del conjunto en estudio para la función compuesta, expresada en forma binómica, y parametrizada, cuyo parámetro es la parte imaginaria de los números pertenecientes al conjunto en estudio.
Espero haberte ayudado.