Yaser
Me gustaría saber cómo son estas derivadas. Paso a paso, por favor. Gracias.
1)
Aplicas la propiedad de las potencias con exponentes negativos en el argumento, y la expresión de la función a derivar, queda:
f(x) = arcsen((1 - x)-1),
a continuación derivas (observa que debes aplicar Regla de la Cadena, ya que tienes composición de tres funciones), y queda (recuerda: (arcsen(x))' = 1/√(1 - x²):
f ' (x) = (1/√(1 - ((1 - x)-1)²)) * (-1)*(1 - x)-2 * (-1),
aquí resuelves el exponente en el segundo término en el argumento en la raíz cuadrada, resuelves el coeficiente, y queda:
f ' (x) = (1/√(1 - (1 - x)-2)*(1 - x)-2,
ahora resuelves la multiplicación de expresiones, y queda:
f ' (x) = (1 - x)-2/√(1 - (1 - x)-2),
a continuación aplicas la propiedad de las potencias con exponentes negativos, y queda:
f ' (x) = 1/((1 - x)2 * √(1 - (1 - x)-2)).
2)
Tienes la expresión de la función a derivar:
f(x) = arccos(x - x²),
a continuación derivas (observa que debes aplicar Regla de la Cadena, ya que tienes composición de dos funciones), y queda (recuerda: (arccos(x))' = -1/√(1 - x²):
f ' (x) = (-1/√(1 - (x - x²)²)) * (1 - 2*x),
aquí resuelves la multiplicación de expresiones, y queda:
f ' (x) = -1*(1 - 2*x)/√(1 - (x - x²)²).
3)
Tienes la expresión de la función a derivar:
f(x) = arctan(x² * √(9*x - 9)) = arctan(x² * (9*x - 9)1/2),
a continuación derivas (observa que debes aplicar Regla de la Cadena, ya que tienes que el argumento de la función arcotangente es una multiplicación de dos funciones, y observa que al derivar el segundo factor debes aplicar también dicha Regla), y queda (recuerda: (arctan(x))' = 1/(1 + x²)):
f ' (x) = (1/(1 + (x² * (9*x - 9)1/2)²)) * (2*x * (9*x - 9)1/2 + x² * (1/2)*(9*x - 9)-1/2 * 9),
aquí resuelves la expresión en el segundo término en el denominador en el primer factor (observa que debes distribuir el exponente principal, y multiplicarlo con los exponentes de los dos factores que tiene en su base), resuelves el coeficiente en el segundo término en el segundo factor, y queda:
f ' (x) = (1/(1 + x⁴ * (9*x - 9))) * (2*x*(9*x - 9)1/2 + (9/2)*x² * (9*x - 9)-1/2),
ahora resuelves la multiplicación de expresiones, y queda:
f ' (x) = (2*x*(9*x - 9)1/2 + (9/2)*x² * (9*x - 9)-1/2) / (1 + x⁴ * (9*x - 9)).
Sugerencia importante: es muy conveniente que sigas estos desarrollos con lápiz, papel, y muchísima paciencia, Yaser.
4)
Tienes la expresión de la función a derivar, en la que aplicas primero la propiedad de las potencias con exponentes negativos en el primer término en el argumento de la raíz cuadrada, después aplicas la propiedad de las potencias con exponentes fraccionarios en el argumento de la función arco cotangente, y queda:
f(x) = arccotg(√(8π/x + 1)) = arcocotg(√(8π*x-1 + 1)) = arcocotg((8π*x-1 + 1)1/2),
a continuación derivas (observa que debes aplicar Regla de la Cadena, ya que tienes composición de tres funciones), y queda (recuerda: (arccotg(x))' = -1/(1 + x²)):
f ' (x) = (-1/(1 + ((8π*x-1 + 1)1/2)²) * (1/2)*(8π*x-1 + 1)-1/2 * (-8π*x-2),
aquí resuelves la expresión en el segundo término en el denominador en el primer factor (oberva que teiens una potencia cuya base es otra potencia, por lo que debes multiplicar los exponentes), resuelves la multiplicación con los dos últimoa factores, y queda:
f ' (x) = (-1/(1 + 8π*x-1 + 1)) * (-4π)*x-2 * (8π*x-1 + 1)-1/2,
ahora reduces términos numéricos en el denominador en el primer factor, resuelves la multiplicación de expresiones, y queda:
f ' (x) = 4π*x-2 * (8π*x-1 + 1)-1/2 / (2 + 8π*x-1).
Espero haberte ayudado.