Yaser
Me gustaría saber cómo son estas derivadas. Paso a paso, por favor. Gracias.
Aquí recuerda las expresiones de las derivadas de las funciones:
- para la función arco secante: (sec-1(x))' = (arcsec(x))' = 1/(|x|*√(1 - x²)) (1),
- para la función arco coseno: (cos-1(x))' = (arccos(x))' = -1/√(1 - x²) (2).
1)
Tienes la expresión de la función a derivar:
f(x) = arcsec((a*x + b)²),
a continuación derivas (observa que debes aplicar Regla de la Cadena ya que tienes composición de tres funciones, y que debes tener en cuenta la expresión señalada (1) para derivar la función arco secante), y queda (observa además que la variable de esta función es "x", por lo que las expresiones "a" y "b" son constantes):
f ' (x) = ( 1/(|(a*x + b)²|*√(1 - ((a*x + b)²)²)) ) * 2*(a*x + b) * a,
aquí resuelves la multiplicación de expresiones, y queda:
f ' (x) = 2*a*(a*x + b) / (|(a*x + b)²|*√(1 - ((a*x + b)²)²)),
ahora aplicas la propiedad de una potencia cuya base es otra potencia, en el segundo término en el argumento de la raíz cuadrada, y queda:
f ' (x) = 2*a*(a*x + b) / (|(a*x + b)²|*√(1 - (a*x + b)⁴)),
a continuación resuelves la expresión en el primer factor en el denominador (observa que tienes un valor absoluto cuyo argumento es una expresión positiva), y queda:
f ' (x) = 2*a*(a*x + b) / ((a*x + b)²*√(1 - (a*x + b)⁴)).
2)
Tienes la expresión de la función a derivar:
f(x) = x*arccos(x) - √(x - 1)*√(x + 1),
a continuación aplicas la propiedad de las potencias con exponentes fraccionarios en ambos factores en el segundo término, y queda:
f(x) = x*arccos(x) - (x - 1)1/2 * (x + 1)1/2,
aquí derivas (observa que debes aplicar Regla del Producto en ambos términoss, y ten en cuenta la expresión señalada (2), al derivar el segundo factor en el primer término), y queda:
f ' (x) =
= 1*arccos(x) + x*(-1/√(1 - x²)) - ((1/2)*(x - 1)-1/2 * (x + 1)1/2 + (x - 1)1/2 * (1/2)*(x + 1)-1/2),
ahora resuelves mltiplicaciones en los dos primeros términos, extraes factor común en el tercer término, y queda:
f ' (x) = arccos(x) - x/√(1 - x²) - (1/2)*((x - 1)-1/2 * (x + 1)1/2 + (x - 1)1/2 * (x + 1)-1/2),
a continuación aplicas la propiedad de las potencias con exponentes negativos, en ambos términos en el agrupamiento que tienes en el tercer término, y queda:
f ' (x) = arccos(x) - x/√(1 - x²) - (1/2)*((x + 1)1/2/(x - 1)1/2 + (x - 1)1/2/(x + 1)1/2),
aquí asocias potencias en ambos términos que tienes en el agrupamiento, y queda:
f ' (x) = arccos(x) - x/√(1 - x²) - (1/2)*(((x + 1)/(x - 1))1/2 + ((x - 1)/(x + 1))1/2),
ahora aplicas la propiedad de las potencias con exponentes fraccionarios, en ambos términos en el agrupamiento, y queda:
f ' (x) = arccos(x) - x/√(1 - x²) - (1/2)*(√((x + 1)/(x - 1)) + √((x - 1)/(x + 1))).
Sugerencia:
te recomendamos consultes con tus docentes sobre el enunciado en este ejercicio, pues observa que:
- la expresión "arccos(x)" está definida en el intervalo: [ - 1; 1 ],
- la expresión "√(x - 1)" está definida en el intervalo: [ 1 ; +∞ ),
- la expresión "√(x + 1)" está definida en el intervalo: [ -1 ; +∞ ),
y ahora observa que el único valor que pertenece a estos tres intervalos es: x = 1,
por lo que tienes que la función que tienes en estudio está definida en el conjunto: { 1 }, que consta de un solo elemento y, por lo tanto, no se trata de una función que sea derivable.
3)
Tienes la expresión de la función a derivar (observa que no tienes indicación alguna, que sugiera que los exponentes de las potencias comprendan a los logaritmos en sus argumentos):
f(x) = ( Ln((1 - x)1 - x) + Ln((x + 1)x + 1) ) / 2,
a continuación aplicas la propiedad del logaritmo de una potencia en ambos términos en el numerador (recuerda: el exponente multiplica al argumento de la base de la potencia), y queda:
f(x) = ( (1 - x)*Ln(1 - x) + (x + 1)*Ln(x + 1) ) / 2,
aquí al denominador común "2" como factor común "1/2", y queda:
f(x) = (1/2)*( (1 - x) * Ln(1 - x) + (x + 1) * Ln(x + 1) ),
ahora derivas (observa que el factor común es constante, por lo que no afecta la derivación, y que tienes dos términos en el agrupamiento, que consisten en multiplicaciones de dos factores, con derivación directa en los primeros factores, y con aplicación de Regla de la Cadena en los segundos factores), y queda:
f ' (x) = (1/2)*( -1*Ln(1 - x) + (1 - x)*(1/(1 - x))*(-1) + 1*Ln(x + 1) + (x + 1)*(1/(x + 1))*1 ),
a continuación resuelves expresiones en todos los términos en el agrupamiento (observa que teiens simplificaciones en su segundo y en su último término), y queda:
f ' (x) = (1/2)*( -Ln(1 - x) - 1 + Ln(x + 1) + 1 ),
aquí cancelas términos numéricos opuestos en el agrupamiento, ordenas sus demás términos, yqueda:
f ' (x) = (1/2)*(Ln(x + 1) - Ln(1 - x)).
Espero haberte ayudado.