Yaser
Me gustaría saber cómo son estas derivadas. Paso a paso, por favor. Gracias.
1)
Tienes la expresión de la función a derivar, y observa que consiste en una multiplicación de dos funciones, cuyas expresiones y las expresiones de sus derivadas son:
1°)
u = ex^(5/2),
cuya derivada queda expresada (observa que aplicamos Regla de la Cadena, ya que tienes composición de dos funciones):
u' = ex^(5/2) * (5/2)*x3/2 = (5/2)*x3/2*ex^(5/2),
2°)
v = cos(√(-x)) = cos((-x)1/2),
cuya derivada queda expresada (observa que aplicamos Regla de la Cadena, ya que tienes composición de tres funciones):
v' = -sen((-x)1/2)*(1/2)*(-x)-1/2*(-1) = (1/2)*(-x)-1/2*sen((-x)1/2),
a continuación planteas la expresión general de la derivada de una multiplicación de dos funciones, y queda:
(u*v)' = u'*v + u*v',
aquí sustituyes la expresión de la función derivada en estudio en el primer miembro, sustituyes expresiones en el segundo miembro, y queda:
f ' (x) = (5/2)*x3/2*ex^(5/2) * cos((-x)1/2) + ex^(5/2) * (1/2)*(-x)-1/2*sen((-x)1/2).
2)
Tienes la expresión de la función a derivar, y observa que consiste en una multiplicación de dos funciones, cuyas expresiones y las expresiones de sus derivadas son:
1°)
u = x3/2,
cuya derivada queda expresada (observa que derivamos en forma directa):
u' = (3/2)*x1/2,
2°)
v = sen(√(x + 1)) = sen((x + 1)1/2),
cuya derivada queda expresada (observa que aplicamos Regla de la Cadena, ya que tienes composición de dos funciones):
v' = cos((x + 1)1/2)*(1/2)*(x + 1)-1/2,
a continuación planteas la expresión general de la derivada de una multiplicación de dos funciones, y queda:
(u*v)' = u'*v + u*v',
aquí sustituyes la expresión de la función derivada en estudio en el primer miembro, sustituyes expresiones en el segundo miembro, y queda:
f ' (x) = (3/2)*x1/2 * sen((x + 1)1/2) + x3/2 * cos((x + 1)1/2)*(1/2)*(x + 1)-1/2.
3)
Tienes la expresión de la función a derivar, y observa que consiste en una multiplicación de dos funciones, cuyas expresiones y las expresiones de sus derivadas son:
1°)
u = (√(x) - 5*x³)⁵ = (x1/2 - 5*x³)⁵,
cuya derivada queda expresada (observa que aplicamos Regla de la Cadena, ya que tienes composición de dos funciones):
u' = 5*(x1/2 - 5*x³)⁴*((1/2)*x-1/2 - 15*x²),
2°)
v = (3*x² - √(x))⁴ = (3*x² - x1/2)⁴,
cuya derivada queda expresada (observa que aplicamos Regla de la Cadena, ya que tienes composición de tres funciones):
v' = 4*(3*x² - x1/2)³*(6*x - (1/2)*x-1/2),
a continuación planteas la expresión general de la derivada de una multiplicación de dos funciones, y queda:
(u*v)' = u'*v + u*v',
aquí sustituyes la expresión de la función derivada en estudio en el primer miembro, sustituyes expresiones en el segundo miembro, y queda:
f ' (x) =
= 5*(x1/2 - 5*x³)⁴*((1/2)*x-1/2 - 15*x²) * (3*x² - x1/2)⁴ +
+ (x1/2 - 5*x³)⁵ * 4*(3*x² - x1/2)³*(6*x - (1/2)*x-1/2).
4)
Tienes la expresión de la función a derivar:
f(x) = (Ln(x)/(5*x + 1))12 * (1/(x - 5))⁴,
a continuación aplicas la propiedad de las potencias con exponentes negativos, en los argumentos en ambas potencias, y queda:
f(x) = (Ln(x) * (5*x + 1)-1)12 * ((x + 5)-1)4,
aquí distribuyes la potencia principal entre los dos factores que tienes en el argumento, en el primer factor, aplicas la propiedad de una potencia cuya base es otra potencia en el segundo factor (recuerda que debes multiplicar los exponentes), y queda:
f(x) = (Ln(x))12 * ((5*x + 1)-1)12 * (x + 5)-4,
ahora aplicas la propiedad de una potencia cuya base es otra potencia en el segundo factor, y queda:
f(x) = (Ln(x))12 * (5*x + 1)-12 * (x + 5)-4,
a continuación planteas las expresiones de los tres factores, y las expresiones de sus derivadas , y queda (observa que en los tres factores debes aplicar Regla de la Cadena, ya que en los tres tienes composiciones de dos funciones):
1°)
u = (Ln(x))12,
que al derivar queda:
u' = 12*(Ln(x))11*1/x = 12*(Ln(x))11*x-1,
2°)
v = (5*x + 1)12,
que al derivar queda:
v' = 12*(5*x + 1)11*5 = 60*(5*x + 1)11,
3°)
w = (x + 5)-4,
que al derivar queda:
w' = -4*(x + 5)-5,
a continuación planteas la expresión general de la derivada de una multiplicación de tres funciones, y queda:
(u*v*w)' = u'*v*w + u*v'*w + u*v*w',
aquí sustituyes la expresión de la función derivada en estudio en el primer miembro, sustituyes expresiones en el segundo miembro, y queda:
f ' (x) =
= 12*(Ln(x))11*x-1 * (5*x + 1)12 * (x + 5)-4 +
+ (Ln(x))12 * 60*(5*x + 1)11 * (x + 5)-4 +
+ (Ln(x))12 * (5*x + 1)12 * (-4*(x + 5)-5).
Espero haberte ayudado.